3.2. Степенной базис

Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента х, которые линейно независимы:

φ₀ (x) = х ⁰ = 1, φ₁ (x) = х¹ = х ,..., φ_m (х) = х^m. (3.8)

В этом случае также, как и при интерполяции, мы будем аппрок­симировать экспериментальную зависимость полиномом. Однако сте­пень полинома mвыбираем обычно m<<n(при лагранжевой интер­поляции m = n). Аппроксимирующая кривая в МНК не проходит че­рез значения исходной функции в узлах, но проведена из условия наи­меньшего суммарного квадратичного отклонения. Экспериментальные данные "сглаживаются" с помощью функции φ(x). Если же выбрать m = n, то на основании единственности интерполяционного полиномаполучим функцию φ(x), совпадающую с каноническим интерполяци­онным полиномом степени n, аппроксимирующая кривая пройдет че­рез все экспериментальные точки и величина Q будет равна нулю. По­следнее обстоятельство используется для отладки и тестирования про­грамм, использующих МНК.

Запишем расширенную матрицу системы нормальных уравнений для базиса (3.8):

. (3.9)

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (3.9) достаточно вычислить элементы первой строки и двух последних столб­цов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического заполнения.

Для решения систем уравнений с матрицей Грамма разработаны методы сингулярного разложения [9]. Если же m ≤ 4 ÷ 5, то такие системы можно решать и более простым методом исключения Гаусса.

3.3. Базис в виде классических ортогональных полиномов

Выбор базисных функций φ_k(x)в виде степеней х (3.8) не является оптимальным с точки зрения решения системы нормальных уравнений с наименьшими погрешностями. Приемлемые результаты в этом слу­чае можно получить, если набор экспериментальных данных с удовле­творительной точностью удается аппроксимировать полиномом невы­сокой степени (т≤4-5).

Лучшие результаты может дать использование классических орто­гональных полиномов Чебышева, Лежандра, Лагерра, Якоби и других в качестве базисных функций. Свойство ортогональности классиче­ских полиномов заключается в том, что для каждого типа полиномов существует отрезок [x₀, х_n], на котором обращаются в нуль скалярные произведения полиномов разного порядка с весовой функцией р(х):

x_n

∫= p{x)φ_j (x) φ_k(x)dx = 0, j ≠ k. (3.10)

x₀

В случае большого количества узлов x_i на отрезке [x₀ ,x_n]скалярные произведения (3.10) будут близки к дискретным скалярным произведе­ниям (3.5), так как интегрирование можно приближенно заменить сум­мированием. Значит недиагональные элементы матрицы Граммабудут иметь небольшую абсолютную величину, что позволит уменьшить погрешность решения системы нормальных уравнений.

Заданный интервал [x'₀ , x'_n], в котором расположены все узлы аппроксимируемой функции, с помощью линейного преобразования все­гда можно привести к отрезку [x₀ ,x_n], где определены и ортогональные базисные функции φ_k(x).

Для наиболее гладкого представления функций (с минимальным чис­лом и амплитудой выбросов) выбираются полиномы Чебышева Т_n(х), которые определены и ортогональны в интервале [-1,1] с весовой функ­цией (1-x²)^-1/². Значения полиномов Чебышева определяются по рекуррентной формуле [10]:

Т_k+1(х) = 2хТ_k(х) – Т_k-1 (х), (3.11)

где Т₀(х) = 1;T₁(x) = х.

Нетрудно убедиться, что в каждом из полиномов Т_k+1(х), опреде­ленном по формуле (3.11), при старших степенях xбудет присутство­вать коэффициент 2^k.Последнее обстоятельство не всегда удобно при оценке вклада в аппроксимирующую функцию φ_k(x) (3.2) старших сте­пеней х по величине коэффициентов с_k.

Полиномы Чебышева можно ввести и по другой рекуррентной фор­муле [11]:

Т*_k+1(х) = хТ*_k(х) – ¼ Т*_k-1 (х), (3.12)

где .

Особенностью такой формы полиномов Чебышева является отсут­ствие коэффициентов у высших степеней x в каждом из полиномов. Недостатком полиномов считают наличие дробного множителя 1/4 в рекуррентной формуле (3.12). Однако это обстоятельство суще­ственно только при ручных вычислениях.

Полиномы ортогональны на отрезке [-1,1] с такой же весо­вой функцией, что и полиномы Т_k(х).

Единичную весовую функцию на отрезке [-1,1] имеют полиномы Лежандра [10], определяемые по рекуррентной формуле

L_k+1 = [(2k + l)xL_k(x) + kL_k-₁(x)] /(k + 1), (3.13)

где L₀(х) = l;L₁(x) = x.