
- •Электрооборудования и электрического транспорта
- •Оглавление
- •Глава 2 23
- •Глава 3 34
- •Глава 4 43
- •Глава 5 61
- •5.7. Понятие о методах обратного дифференцирования 74
- •Предисловие
- •Глава 1 решение алгебраических уравнений и их систем
- •1.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •1.1.1. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •1.1.2. Факторизация и типовые схемы решений
- •1.1.3. Метод Гаусса и lu— разложение
- •1.1.4. Метод Гаусса-Жордана обращения матриц
- •1.1.5. Метод квадратного корня (Холесского)
- •1.1.6. Метод вращений
- •1.1.7. Итерационное уточнение
- •1.1.8. Решение преопределенных систем линейных алгебраических уравнений
- •1.2 Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
- •1.2.1. Метод последовательных приближений
- •1.2.2. Метод Ньютона
- •1.2.3. Метод Ньютона по параметру
- •Глава 2 Интерполяция зависимостей
- •2.1. Интерполяция каноническим полиномом
- •2.2. Интерполяция полиномом Лагранжа
- •2.3. Интерполяция полиномом Ньютона
- •2.4. Применение интерполяции для решения уравнений
- •2.5. Интерполяция сплайнами
- •Глава 3 Метод наименьших квадратов
- •3.1. Общие положения
- •3.2. Степенной базис
- •3.3. Базис в виде классических ортогональных полиномов
- •3.4. Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной
- •3.5. Линейный вариант метода наименьших квадратов
- •3.6. Сглаживание экспериментальных данных с ошибками
- •Глава 4 Определенные интегралы
- •4.1. Классификация методов
- •4.2. Методы прямоугольников
- •4.3. Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену
- •4.4. Метод трапеций
- •4.5. Метод Симпсона
- •4.6. Методы Ньютона-Котеса
- •4.7. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.8. Применение сплайнов для численного интегрирования
- •4.9. Методы наивысшей алгебраической точности
- •4.10. Несобственные интегралы
- •4.11. Вычисление кратных интегралов
- •Глава 5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1. Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений
- •5.2. Метод Эйлера
- •5.3. Методы Рунге-Кутта
- •5.4. Метод Рунгe-Кутта-Мерсона
- •5.5. Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона
- •5.6. Методы Гира
- •5.7. Понятие о методах обратного дифференцирования
- •Библиографический список
- •Методы вычислений в задачах
- •Электроаппаратостроения,
- •Электрооборудования
- •И электрического транспорта
- •346428, Г.Новочеркасск, ул. Просвещения 132
2.4. Применение интерполяции для решения уравнений
Интерполяция применяется для решения уравнений вида
.
(2.17)
Если в области корня
уравнения (2.17) вычислить его левую часть
(n +1)точке
и результаты поместить в табл. 2.1, то для
определения корня
можно поменять местами столбцы таблицы
и с помощью одного из
алгоритмов интерполяции найти значение
аргумента х,
при котором
функция f(x)
принимает
значение
.
Нахождение значений аргумента x
по заданным значениям функции называется
обратной интерполяцией.
Значение корня,
найденное с помощью обратной интерполяции,
будет
приближенным за счет погрешности
интерполяции. Для его уточнения
необходимо организовать итерационный
процесс, на каждом шаге
которого узел, где величина
принимает
наибольшее значение,
заменяется найденным приближением к
корню. Критерием окончания
итераций будет выполнение одного из
условий
,
где хк—
приближение к корню на k-й
итерации;
—
заданная погрешность
определения корня;
— предельная величина невязки.
Обычно при решении уравнений методом обратной интерполяции выбирают фиксированное и сравнительно небольшое количество узлов. Если выбрать два узла, то получим алгоритм, полностью совпадающий с методом секущих.
Рассмотрим случай
трех узлов. При этом левая часть решаемого
уравнения
аппроксимируется полиномом второй
степени и алгоритм называется
методом парабол. Итак, пусть известны
три начальных приближения
к корню x0,x1
и
.
Вычислим значения
левой части уравнений
в этих точках
и
.
По полученным данным построим
интерполяционный
полином Ньютона второй степени:
.
Для простоты полагаем
,
тогда, приравнивая полином к нулю,
получим квадратное уравнение для
определения очередного приближения
к корню уравнения.
Введем обозначение
тогда
,
и квадратное
уравнение принимает вид
где
.
Из двух корней последнего уравнения относительно zвыбираем минимальный по модулю, затем вычислим величины.
На следующей итерации
полином строим по точкам
Окончание
итерационного процесса наступит,
когда выполнится одно из условий
Основное время при решении уравнений методом парабол затрачивается на вычисление левой части уравнений f(x). Можно составить программу таким образом, что функция f(x) вычисляется три раза только на первой итерации, а на последующей итерации лишь один раз, информация о значении функции в двух других узлах сохраняется от предыдущей итерации.
2.5. Интерполяция сплайнами
Полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты при аппроксимации зависимостей. Так, например, при представлении полиномами резонансных кривых колебательных систем большая погрешность возникает на концах ("крыльях") этих кривых. Несмотря на выполнение условий Лагранжа в узлах интерполяционная функция может иметь значительное отклонение от аппроксимируемой кривой между узлами. При этом повышение степени интерполяционного полинома приводит не к уменьшению, а к увеличению погрешности. Возникает так называемое явление волнистости [4].
Для проведения гладких кривых через узловые значения функции чертежники используют упругую металлическую линейку, совмещая ее с узловыми точками. Математическая теория подобной аппроксимации развита за последние тридцать лет [5, 6] и называется теорией сплайн-функций. Разработано и обширное программное обеспечение для применения сплайнов в различных областях науки и техники [1,7].
Рассмотрим один из наиболее распространенных вариантов интерполяции кубическими сплайнами. Используя законы упругости, можно установить, что недеформируемая линейка между соседними узлами проходит по линии, удовлетворяющей уравнению
(2.18)
Функцию
и
будем использовать для аппроксимации
зависимости f(x),
заданной в узлах
,...,хпзначениями
.
Если в качестве
функции
выбрать
полином, то в соответствии с уравнением
(2.18) степень полинома должна быть не
выше третьей. Этот полином называют
кубическим сплайном, который на интервале
записывают
в виде
,
(2.19)
где
и
—
коэффициенты сплайна, определяемые из
дополнительных условий; i=
1,2,..., п— номер сплайна.
В отличие от
полиномиальной интерполяции, когда вся
аппроксимируемая зависимость
описывается одним полиномом, при
сплайновой
интерполяции на каждом интервале
строится
отдельный полином
третьей степени(2.19) со своими коэффициентами.
Коэффициенты сплайнов определяются из условий сшивания соседних сплайнов в узловых точках:
1) Равенство значений сплайнов и аппроксимируемой функции f(x) в узлах — условия Лагранжа
. (2.20)
2) Непрерывность первой и второй производных от сплайнов в узлах
(2.21)
(2.22)
Кроме перечисленных условий необходимо задать условия на концах, т.е. в точкахx0 иxn. В общем случае эти условия зависят от конкретной задачи. Часто используют условия свободных концов сплайнов. Если линейка не закреплена в точках вне интервала[x0, xn], то там она описывается уравнением прямой, т.е. полиномом первой степени. Следовательно, исходя из условий (2.22), т.е. непрерывности вторых производных сплайнов на концах интервала, запишем соотношения:
(2.23)
(2.24)
Для улучшения гладкости аппроксимирующей кривой используют и другие граничные условия. Например, строят так называемые нагруженные сплайны, которые в механической модели соответствуют подвешиванию грузов к металлической линейке на ее концах.
Получим алгоритм определения коэффициентов кубических сплайнов из условий (2.20) – (2.24). Условия (2.20) в узлах xi-1и xi после подстановки i-гo сплайна принимают вид
ai = ƒi-1 , (2.25)
ai + bihi +cihi2 + dihi3 = ƒi, (2.26)
гдеhi= xi— xi-1, 1 ≤ i ≤ n.
Продифференцируем дважды сплайн (2.19) по переменной x:
φ′i(x) = bi+ 2ci (x— xi-1) + 3di (x— xi-1)2, (2.27)
φ″i(x) = 2ci+ 6di (x— xi-1). (2.28)
Из условий непрерывности производных (2.21) и (2.22) при переходе в точке xiот i-го к i1сплайну с учетом выражений (2.27) и (2.28) получим следующие соотношения:
bi + 2ci hi +3dihi2= bi+1 , (2.29)
ci + 3dihi= ci + 1. (2.30)
И, наконец, из граничных условий (2.23) и (2.24) на основании выражения для второй производной (2.28) получим, что
c1 = 0, (2.31)
cn+ 3dnhn= 0. (2.32)
Соотношения (2.25), (2.26), (2.29) — (2.32) представляют собой полную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов сплайнов ai, bi,ci иdi. Но прежде чем решать эту систему, выгодно преобразовать ее так, чтобы неизвестными была только одна группа коэффициентов ci.
Из уравнений (2.30) коэффициенты diвыразим через коэффициенты ci:
(2.33)
Объединяя уравнения (2.25) и (2.26) с уравнением (2.33), представим коэффициенты biтакже через коэффициенты ci:
f i — f i-1 (c i+1 + 2c i)h
bi = ———— - ————— . (2.34)
hi 3
После подстановки выражений (2.33) и (2.34) в соотношение (2.29) получим уравнение, в которое входят только неизвестные коэффициенты ci. Для симметричности записи в полученном уравнении уменьшим значение индекса i на единицу:
(2.35)
где 2≤ i ≤n.
При i = n, учитывая условие свободного конца сплайна, в уравнении (2.35) следует положить
cn+1 = 0. (2.36)
Таким образом, уравнение вида (2.35) вместе с условиями (2.31) и (2.36) образует систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов ci. Коэффициенты di и biвычисляются после нахождения ci по формулам (2.33) и (2.34), коэффициенты aiравны значениям аппроксимируемой функции в узлах в соответствии с формулой (2.25).
В каждое из уравнений типа (2.35) входит только три неизвестных с последовательными значениями индексов ci-1,ci,ci+1. Следовательно, матрица системы линейных алгебраических уравнений относительно ci является трехдиагональной, т.е. имеет отличные от нуля элементы только на главной и двух примыкающих к ней диагоналях. Для решения систем с трехдиагональной матрицей наиболее эффективно применять так называемый метод прогонки, являющийся частным случаем метода Гаусса.
Рассмотрим алгоритм метода прогонки применительно к решаемой задаче. Для сокращения записи уравнение (2.35) представим в виде
hi-1ci-1+sici + hici+1 = ri, (2.37)
гдеsi = 2 (hi-1 - hi).
ri=
3
.
(2.38)
Так же, как и метод Гаусса, метод прогонки разделяется на два этапа — прямой и обратный ходы. В процессе прямого хода метода прогонки вычисляют значения коэффициентов линейной связи каждого предыдущего неизвестного ciс последующим ci+1.
Из уравнения (2.37) при i = 2 с учетом граничного условия (2.31) установим связь коэффициента с2 с коэффициентом с3:
c2 = k2- l2с3 , (2.39)
где k2 и l2 — прогоночные коэффициенты,
Затем, подставляя выражение (2.39) в уравнение (2.37) при i = 3, получим линейную связь коэффициента с3 с коэффициентом с4:
c3 = k3- l3с4.
Поступая аналогичным образом для любых соседних коэффициентов с номерами i и i + 1, можно установить линейную связь в виде
ci = ki- liсi+1. (2.40)
В процессе выполнения прямого хода метода прогонки необходимо вычислить значения всех прогоночных коэффициентов ki и li, для которых получим рекуррентные соотношения. Подставим формулу связи (i -1)-го и i-го коэффициентов
ci-1 = ki-1- li-1сi
в уравнение (2.37), в результате получим
.
Сравнение последнего соотношения с формулой (2.40) позволяет записать рекуррентные соотношения для определения прогоночных коэффициентов kiи li:
(2.41)
Учитывая граничное условие (2.31) и соотношение
c1 = k1- l1с2,
а также полагая c2≠0, задаем начальные коэффициенты k1 = 0 и l1 = 0. Затем по формуле (2.41) вычислим все ппар прогоночных коэффициентов ki и li..На основании соотношения cn = kn- lncn+1 и граничного условия (2.36) получим, что
cn = kn. (2.42)
Далее последовательно применим формулу (2.40) при i = n — 1,n— 2,.. и вычислим значения искомых величин cn-1, cn-2,…, c2.
Эта процедура называется обратным ходом метода прогонки.
Метод прогонки применяют не только для решения задач сплайн-интерполяции. Он широко используется и при численном интегрировании граничных задач для линейных дифференциальных уравнений методом конечных разностей.
После определения всех коэффициентов сiдругие коэффициенты сплайна вычисляются по формулам (2.25), (2.33) и (2.34). Аппроксимирующую функцию φ(x)можно рассчитать с помощью соотношения (2.19) в любой точке xна интервале [х0, хn].