1.1.5. Методы решения некорректных задач

Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.

Если исходные данные известны приближённо, то упомянутая неустойчивость приводит к практической не единственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближённого решения. В силу этих особенностей долгое время считалось, что некорректно поставленные задачи не могут иметь практического значения.

Однако можно указать некорректно поставленные задачи, относящиеся как к классическим разделам математики, так и к различным классам практически важных прикладных задач.

Среди таких задач - решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода с ядром , к которому приводится ряд физических задач,

где - искомая функция из пространства , - заданная функция из пространства .

В операторной форме это уравнение будет выглядеть как

,

где - матрица с элементами - искомый вектор с координатами , - известный вектор с координатами , , .

В практических задачах часто правая часть и элементы матрицы , т.е. коэффициенты системы уравнений, известны приближённо. В этих случаях вместо исходной системы мы имеем дело с некоторой другой системой такой, что , , где смысл норм обычно определяется характером задачи. (Так для евклидовой нормы )

В этих случаях о точной системе , решение которой надо определить, нам известно лишь то, что для матрицы и её правой части выполняются неравенства и . Но систем с такими исходными данными бесконечно много, и в рамках известного нам уровня погрешности они неразличимы. Поскольку вместо точной системы мы имеем дело с приближённой системой , то речь может идти лишь о нахождении приближённого решения. Но приближённая система может быть неразрешимой.

А. Н. Тихоновым предложено заменить точное решение системы псевдорешением с минимальной нормой :

.

Псевдорешение наименьшей нормы, так называемое нормальное псевдорешение, всегда существует и единственно. Устойчивый алгоритм нахождения нормального псевдорешения реализуется при решении системы уравнений

,

где - малый параметр (коэффициент регуляризации);

- единичная матрица;

- транспонированная матрица .

Решение последней системы уравнений является приближённым к исходному значению , причём .

Если коэффициент регуляризации слишком мал, то система уравнений переходит в плохо обусловленную. Если же он велик, то регуляризованная система будет хорошо обусловленной благодаря присутствию в левой части хорошо обусловленной матрицы , но сама система при большом сильно отличается от исходной и регуляризованное решение не будет близким к исходному решению. Поэтому слишком малое или слишком большое непригодны. Оптимальным будет наименьшее значение , при котором обусловленность системы ещё удовлетворительна.

Для фактического нахождения оптимума вычисляют невязку и сравнивают её по норме с известной погрешностью правой части и с влиянием погрешности коэффициентов матрицы . Проводят серию расчётов с различными коэффициентами ; оптимальным считают тот, в котором .

Обычно всегда удовлетворяет неравенству

,

где - число обусловленности матрицы .Чаще всего .

Если в коэффициенты матрицы и значения в правой части системы имеют различные порядки (например, коэффициенты матрицы имеют порядок , а значения в правой части системы - ), то вначале необходимо выполнить так называемое «центрирование».

«Центрирование» или «нормирование» по столбцам матрицы и вектора правой части:

- текущий номер столбца, - порядок системы.

«Центрированная» матрица и вектор правой части системы уравнений имеют вид

;

Решение восстанавливается по формуле:

.

Пример 1.4 постановки некорректно поставленной задачи.

Связь между распределением вектора намагниченности постоянного магнита и напряжённостью созданного им поля выражается уравнением магнитостатики:

,

где и - соответственно, объём, и поверхность магнита;

- модуль радиус-вектора, соединяющего точку наблюдения с переменной точкой в области магнита;

- нормаль к поверхности;

.

Это уравнение с помощью различных рассуждений и преобразований может быть сведено к интегралу по объёму постоянного магнита

или к интегрированию нормальной составляющей намагниченности элемента

,

где - площадь -й грани элемента магнита;

- число граней (общее число элементарных площадок), в пределах которых .

И в том, и в другом случае после дискретизации области постоянного магнита получим систему уравнений

,

где - вектор, составленный из элементов массива данных измерений напряжённости внешнего магнитного поля, создаваемого постоянным магнитом;

- вектор, образованный искомыми компонентами намагниченности в элементарных объёмах;

- матрица коэффициентов.

По своей постановке данная задача является некорректной.