51

Лекции

«ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,

ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ

ЗАДАЧАХ»

(Часть I: Решение СЛАУ)

Новочеркасск 2012

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 3

1.1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ 4

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) 4

1.1.1. Классификация методов 4

1.1.2. Обусловленность системы уравнений 5

1.1.3. Собственные значения и собственные векторы матриц 6

1.1.4. Векторные нормы 6

1.1.5. Методы решения некорректных задач 7

1.1.6. Точные методы расчёта СЛАУ 10

1.1.6.1. Классический метод Гаусса 11

1.1.6.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента 13

1.1.6.3. Гауссово исключение и LU-разложение 16

1.1.6.4. Матрично-векторные формы - разложения 19

1.1.6.5. Алгоритм Донгарры-Айзенштата. 19

1.1.6.6. Метод вращения 20

1.1.6.7. Схема Жордана 23

1.1.6.8. факторизация 25

1.1.6.9. Преобразование Хаусхолдера. 26

1.1.6.10. QR-разложение матриц 27

1.1.6.11. Метод квадратных корней (Холесского) 30

1.1.6.12. Итерационное уточнение 34

1.1.6.13. Особенности решения СЛАУ для ленточных симметричных и 35

несимметричных матриц 35

1.1.7. Итерационные методы СЛАУ 44

1.1.7.1. Решение СЛАУ методом простых итераций 44

1.1.7.2. Решение СЛАУ методом Гаусса-Зейделя 46

1.1.7.3. Метод релаксации 48

ЛИТЕРАТУРА 51

1. Численные методы в электротехнических задачах

Решение задач можно условно разделить на этапы:

• формулирование задачи;

• математическая постановка;

• физический и математический анализ;

• численный анализ;

• разработка вычислительного алгоритма.

Формулирование задачи – определение цели, которой необходимо достичь, с учетом четкого изложения условий задачи, необходимых исходных данных и границ изменения параметров.

Математическая постановка задачи заключается в математическом описании сформулированной задачи с помощью математических выражений, т.е. в составлении математической модели задачи.

Физический и математический анализ заключаются в анализе существования и единственности решения, определении математических методов, которые можно использовать для решения сформулированной задачи.

Численный анализ включает выбор наиболее приемлемого метода решения задачи, разработку его во всех деталях и запись в виде алгоритма.

Метод решения – это точное описание, по которому каждому набору исходных данных из области допустимых значений можно сопоставить решение.

Алгоритм – точное предписание последовательности операций, которую надо провести над исходными данными и промежуточными результатами вычислений, чтобы получить искомый результат.

При разработке алгоритма вычислений необходим учет ограничений, налагаемых вычислительными средствами (быстродействие, объем памяти, точность представления чисел и т.п.).

Эффективность математических методов и реализующих их алгоритмов оценивается на основе:

• количества действий, которые надо выполнить для получения решения;

• количества различных данных, которые необходимо сохранять на отдельных этапах вычислительного процесса.

Решение любой задачи связано с возникновением трех основных погрешностей:

1. Неустранимой погрешности, полученной из-за допущений, принятых при упрощенном описании явлений и объектов.

2. Погрешности метода, возникающей, если он не допускает точного аналитического решения и использует приближенные методы решения.

3. Вычислительной погрешности, обусловленной необходимостью округления чисел при выполнении арифметических операций.

Существенное значение при решении практических задач имеют погрешности измерений.

1.1. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)

1.1.1. Классификация методов

Для решения СЛАУ, записанных в развёрнутом виде:

(1.1)

или в матричном виде

(1.2)

применяются различные методы, которые можно разделить на три группы:

1. точные;

2. итерационные;

3. статистических испытаний.

Точные методы позволяют в результате конечного, заранее известного числа арифметических операций получить искомое решение. Они называются точными потому, что существует принципиальная возможность получить с их помощью точный результат. Однако в практике вычислений они не дают точного результата, так как приходится учитывать влияние исходных погрешностей и ошибок округления.

Для итерационных методов характерно то, что,

во-первых, они требуют начальных приближенных значений неизвестных,

во-вторых, решение ищется по итерационной схеме в виде последовательности постепенно улучшающихся приближений, число которых заранее может быть неизвестным, и,

в-третьих, для получения искомого решения необходимо, чтобы итерационный процесс был сходящимся. Итерационные методы позволяют получить приближенное решение с практически любой степенью точности, хотя точное решение за конечное число шагов в этом случае получить невозможно; точный результат является пределом бесконечной последовательности приближений.

В вычислительной практике процесс итерации обычно продолжается до тех пор, пока два последовательных приближения не совпадут с нужным числом знаков.

Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло) носят вероятностный характер. Они предполагают использование случайных величин, математическое ожидание которых равняется искомому решению

Многие методы решения системы (1.2) связаны с обращением матриц, так как значения неизвестных удовлетворяют матричному равенству

, (1.3)

где - матрица, обратная матрице . При этом предполагается, что матрица коэффициентов является невырожденной.