5. Логіка предикатів

Логіка предикатів – розвиток логіки висловлювань. За допомогою формул логіки висловлювань можна описати структуру складних висловлювань, встановити їхню істинність чи хибність в залежності від істинності простих висловлювань, що входять у нього. Для опису внутрішньої логічної структури простих висловлювань використовується поняття «предиката».

Означення 5.1. Предикатом називається логічна функція, аргументами якої можуть бути довільні об'єкти з деякої множини, а сама функція може приймати значення істинності або хибності.

Предикати відображають властивості та відношення між предметами деякої множини.

Означення 5.2. Предметні символи – імена аргументів предикату, що позначаються малими буквами.

Означення 5.3. Предикатні символи – імена, якими позначають предикати та записують великими буквами.

Означення 5.4. Предметна область – це область значень аргументів предикату.

Приклад 5.1. Нехай маємо речення «x – просте число».

Предикат: P(x) – «x – просте число».

Предметний символ: х.

Предикатний символ: Р – «просте число».

Предметна область: D – (-∞,∞).

Означення 5.5. n-місний предикат – предикат, що містить n змінних

Приклад 5.2. Нехай речення « ≥4» задано предикатом P( ). Тоді Р(1,2) – хибне висловлювання, а Р(3,5) – істинне. Тобто Р(1,2)=Т, а Р(3,5)=F. ▲

Правильно побудована формула логіки предикатів визначається так:

1. Атомарна формула є формулою.

2. Якщо Р та Q формули, то і (Р), (РQ), (PQ), (P~Q) , (PQ), (PQ) теж формули.

3. Якщо Р формула, а х – змінна у формулі, то хР та хР теж формули (квантори розглянуті в наступному розділі).

4. Формули отримуються лише скінченною кількістю застосувань правил 1-3.

Квантори та квантифікація предикатів

Існує інший спосіб перетворення предиката у формулу – квантифікація. Для цього використовуються спеціальні символи – квантори:

1. квантор загальності –  («для всіх»);

2. квантор існування –  («існує»);

3. квантор існування і єдності – ! («існує єдиний»).

Якщо D={a₁, a₂, ..., a_n} – скінченна предметна область змінної x у предикаті P(x), то можна скористатися логічними еквівалентностями xP(x)=P(a₁) P(a₂)...P(a_n) та xP(x)=P(a₁) P(a₂) ...P(a_n). У такому разі заперечення квантифікованої формули дає той самий результат, що й застосування відповідного закону де Моргана. Це випливає з того, що

(xP(x))=(P(a₁) P(a₂)...P(a_n))= , а це у свою чергу, еквівалентне x= .

Аналогічно,

(xP(x))=(P(a₁) P(a₂)...P(a_n))= ,

що еквівалентно .

Приклад 5.3. Нехай х – змінна, визначена на множині людей (D), а Р(х) – предикат «x – смертна». Задати словесне формулювання предикатної формули хР(х).

Формула хР(х) означає «всі люди смертні». Вона не залежить від змінної х, а лише характеризує всіх людей в цілому. ▲

Приклад 5.4. Нехай х – змінна, визначена на множині натуральних чисел (D), а Р(х) – предикат «x – парне число». Задати словесне формулювання предикатної формули хР(х) та визначити його істинність.

Формула хР(х) означає «в множині натуральних чисел існує парне число». Множина натуральних чисел містить парні, тому дане висловлювання істинне. ▲

Приклад 5.5. Нехай Р(х,у) – предикат «х любить у» на множині людей (D). Розглянути всі варіанти використання кванторів для обох змінних. Задати словесну інтерпретацію отриманим висловлюванням.

Випадок 1. ху Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «для будь-якої людини х існує людина у, яку вона любить» або «будь-яка людина когось любить»(рис.5.1).

Рис.5.1. ху Р(х,у)

Випадок 2. ух Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «існує людина у, яку любить будь-яка людина х» (рис.5.2).

Рис 5.2. ух Р(х,у).

Випадок 3. ху Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «всі люди х люблять всіх людей у» (рис.5.3).

Рис.5.3. ху Р(х,у).

Випадок 4. ху Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «існує людина х, яка любить людину у» (рис.5.5).

Рис.5.4. ху Р(х,у).

Випадок 5. ху Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «існує людина х, яка любить всіх людей у» (рис.5.5).

Рис.5.5.ху Р(х,у).

Випадок 6. ух Р(х,у). Дане висловлювання означає, що «для будь-якої людини у існує людина х, яка її любить» або «кожну людину хтось любить» (рис.5.6).

Рис.5.6. ух Р(х,у).

Із даного прикладу видно, що від перестановки кванторів загальності та існування змінюється суть висловлювання. ▲

Приклад 5.6. Позначимо речення «x – просте число» як P(x), «x –раціональне число” – як Q(x), «x – дійсне число» — як R(x) та „x менше y” – як МЕНШЕ(x, y). Розглянемо такі істинні твердження:

1. Кожне раціональне число дійсне.

2. Існує просте число.

3. Для кожного числа x існує таке число y, що x < y.

Наведені речення можна записати такими формулами.

1. x (Q(x) → R(x)).

2. x P(x).

3. xy МЕНШЕ(x,y). ▲

Означення 5.6. Перехід від P(x) до xP(x) або xP(x) називають зв’язуванням предметної змінної x, а саму змінну x – зв’язаною. Незв’язану змінну називають вільною. У виразах xP(x) та xP(x) предикат P(x) належить області дії відповідного квантора.

Приклад 5.7. Запишемо речення «Кожний студент групи вивчав дискретну математику» за допомогою предикатів і кванторів. Спочатку перепишемо речення так, щоб було зрозуміло, як краще розставити квантори: «Про кожного студента групи відомо, що цей студент вивчав дискретну математику». Тепер уведемо змінну x і речення набере вигляду: «Про кожного студента x групи відомо, що x вивчав дискретну математику». Уведемо предикат C(x): «x вивчав дискретну математику». Якщо предметна область змінної x – усі студенти групи, то можна записати задане речення як xС(x). Є й інші коректні подання з різними предметними областями та предикатами. Зокрема, можна вважати, що нас цікавлять інші групи людей, окрім тих, які вчаться в одній академічній групі. Узявши як предметну область усіх людей, можна записати задане речення так: «Для кожної особи x, якщо ця особа x – студент групи, то x вивчав дискретну математику». Якщо предикат S(x) має вигляд «Особа x вчиться в групі», то задане речення треба записати у вигляді x(S(x)→C(x)). Зауважимо, що задане речення не можна записати як x(S(x)C(x)), бо тоді це означало б, що всі особи з предметної області вчаться в групі та вивчали дискретну математику. ▲

Приклад 5.8. Запишемо речення «Хтось зі студентів групи відвідав Париж» за допомогою предикатів і кванторів. Це речення аналогічне реченню «У групі є студенти(принаймі один), які відвідали Париж». Якщо ввести змінну x, то задане речення можна переписати так: «У групі є такий студент x, що x відвідав Париж». Уведемо предикат M(x), який відповідає реченню «x відвідав Париж». Якщо предметна область змінної x складається тільки зі студентів певної групи, то можна записати це речення як xM(x).

Якщо ж нас цікавлять інші особи, окрім студентів зазначеної групи, то перше із запропонованих речень матиме інший вигляд: «Є така особа x, що x – студент групи й x відвідав Париж». У такому разі предметна область складається з усіх можливих людей. Нехай S(x): «x – студент групи». Тоді речення має такий вигляд: x(S(x)M(x)), бо воно містить повідомлення про те, що хтось – студент групи та відвідав Париж. Це речення не можна подати формулою x(S(x)→M(x)), оскільки вона істинна навіть тоді, коли особа x – не студент групи. ▲

Приклад 5.9. Подамо формулу x(C(x)y(C(y)F(x,y))) словами, якщо C(x) означає «x має комп’ютер», F(x,y) – «x та y – друзі», а предметна область для x і для y – усі студенти певного курсу. Зміст формули можна записати так: «Кожний студент курсу має комп’ютер або друга, у якого є комп’ютер». ▲

Приклад 5.10. Запишемо формулою логіки предикатів речення «Сума двох додатних чисел – додатнє число». Спочатку перепишемо це речення так: «Два довільні додатні числа дають у сумі додатнє число». Уведемо змінні x та y і отримаємо речення: «Будь-які додатні числа x та y утворюють суму x+y, яка являє собою додатнє число». Запишемо його формулою xу(((x>0)(y>0))→(x+y>0)). Тут предметна область кожної змінної – усі дійсні числа. ▲