Принцип включений и исключений.
Рассмотрим важный комбинаторный метод – принцип включений и исключений, он же символический метод, он же принцип перекрестной классификации.
Пусть имеем:
N – объектов, из которых
N(a) – обладают свойством a
символом
обозначим отсутствие у объекта свойства
а.
Далее:
Объекты могут обладать двумя свойствами (а и b)
N(a) обладает свойством а
N(b) обладает свойством b
Число элементов, не обладающих ни свойством a, ни свойством b число элементов, обладающих свойствами a и b одновременно Почему появился ?
Т.к. при вычитании N(a) и N(b) из общего запаса элементов величина вычитается дважды она должна быть один раз восстановлена!
Обобщение.
Пусть имеем N объектов
N(a) – обладают свойством a
N(b) - обладают свойством b
……………………………….
обладают свойствами а и b
обладают
свойствами а,
b
и
с, и т.д.
Особенностью формулы включений и исключений является чередование знаков:
у элементов с четным числом свойств имеем «+»;
у элементов с нечетным числом свойств имеем «-»;
Удобная символическая запись:
Смысл записи на примере
Т.е. простое раскрытие скобок ведет к формуле.
Доказать!