Циклы перестановок.

Исходная упорядоченная совокупность n элементов. Воздействуем на нее оператором.

( 1 2 3 4 5 )

( 2 5 4 3 1 )

Воздействие оператора представим записью

(1, 2, 5) (3, 4)

Это означает 1 2 3 4

2 5 4 3

5 1

Последовательность связанных между собой переходов называется циклом.

Циклы, содержащие один элемент называются единичными.

Циклы, содержащие два элемента - двоичными.

Три – троичными, и т.д.

Перестановка может быть содержать

единичных циклов

двоичных циклов

троичных циклов

…

n-ичных циклов

Совокупность чисел определяют цикловой класс (или просто класс)

связь с числом n

Для нашего примера имеем:

1. 1

- число перестановок циклового класса (k)

? Как найти число перестановок, имеющих единичных, двоичных и т.д.

1. Выберем произвольную перестановку класса (k) и переставим все элементы всеми возможными n! способами.

Д ве причины, в силу которых не все получившиеся в результате этой операции перестановки оказываются различными.

I. Не отличаются с токи зрения циклового класса друг от друга все циклы, в которые входит одинаковое число одинаковых элементов.

II. Относительное расположение циклов несущественно (с точки зрения циклового класса).

1. С точки зрения циклового класса не отличаются друг от друга все циклы, в которые входит одинаковое число одинаковых элементов.

Т.к. цикл может начаться с любого из r входящих в него элементов, то можно получить r дубликатов этого цикла.

4

3

r элементов

r дубликатов

2

1 2 3 4 5 6

5

2 1 4 3 6 5

1

6

2

т.к.

Общее число дубликатов для перестановок

2. Относительное расположение циклов не существенно с точки зрения циклового класса

Если число циклов равно , то их можно переставить = Ч.Д. Г

Общее число дубликатов

где , следовательно

1 2 3 4 5 6

2 1 4 3 6 5

1 3 5

2 4 6

Относительно первого фактора:

Имеем

Общее количество дубликатов для перестановок

Относительно расположения циклов общее количество дубликатов

Т.е. из «3-х» переставить «3»

Общее количество перестановок будет

Пример.

Разобьем на цикловые классы перестановки из 3-х элементов.

1 ,2,3 (1) (2) (3) *** Цикл. класс (3,0,0)

1

Цикл. класс (1,1,0)

,3,2 (1), (2,3) **

3 ,2,1 (1,3), (2) **

2 ,1,3 (1,2), (3) **

3

Цикл. класс (0,0,1)

,1,2 (1,3,2) *

2 ,3,1 (1,2,3) *

* (3*1=3)

** (1+2*1=3)

*** (3*1+2*0+3*0=3)