Сочетания с повторениями

Имеем n классов (или видов) элементов. Из них осуществляется r-выборка (r>n). В выборке элементы будут повторяться (это очевидно).

В этом случае сочетания называются сочетаниями с повторениями.

эклеры песочные слоеные наполеон

Т.е. 4 вида. Из них выбирают 7 предметов для покупки. Это не задача на перестановки: порядок выбора элементов не важен. Это не задача на сочетания: в комбинацию могут входить повторяющиеся элементы.

Закодируем покупку

111 о 111 о о 1

3 эклера 3 песочных 0 слоеных 1 наполеон

Пишем столько единиц, сколько куплено предметов 1-го класса. Затем пишем разделительный ноль, и т.д.

Очевидно, что предложенный способ кодирования покупки позволяет поставить взаимооднозначно

к аждой покупке шифр из 0 и 1

и обратно!

Число покупок равно числу различных вариантов комбинаций, которые можно составить из 7 единиц и 3-х нулей.

В общем случае:

число сочетаний с неограниченными повторениями.

где k – число предметов,

r – число предметов, которые выбираем.

Выводы:

Числа сочетаний и перестановок существенно зависят от спецификации элементов, из которых осуществляется комбинация.

Производящие функции для сочетаний.

Изучая свойства сочетаний (на таблице) было показано, что числа сочетаний совпадают с биномиальными коэффициентами, т.е.

функцию называют перечисляющей производящей функцией для сочетаний из n различных элементов или энумератором.

Как ей пользоваться?

Пример.

а). t=1

б). t=-1

Рассмотрим а) + б).

Пусть i – четное. Тогда

…………………………….

Пусть i – нечетное.

…………………………….

Т огда а) + б) даст

Вычтем из а) б). Тогда:

а) Пусть i – четное, тогда

……………

……………………………….

б). Пусть i – нечетное, тогда

…………………

………………………………

перемножим и суммируем члены при t.

…………………………………………….

Вывод:

Приведенные примеры показывают, что с помощью энумераторов легко получаются различные комбинаторные формулы, которые раскрывают свойства чисел сочетаний.

Производящие функции при одинаковых элементах в комбинациях сочетания.

n штук

Если имеем n различных элементов, то каждому элементу соответствует (1+t) множитель

o o o o ……… o

( 1+t) (1+t) (1+t) (1+t) (1+t)

Если элементы не различны

o o o ….……. o

(1+x₁t) (1+x₂t) (1+x₃t) (1+x_nt)

идентифицирующие элементы

Тогда для 3-х элементов с учетом идентифицирующих элементов

1 + 3 + 3 + 1

! Все , , - симметричные функции переменных , , .

! Число слагаемых каждого коэффициента равно числу сочетаний:

Это справедливо для случая из n элементов.

е сли , то получаем

! Коэффициенты по своей сути являются r-сочетаниями. При этом каждый элемент в сочетании появится не более 1 раза.

Зачем ввели новый вид записи производящих функций?

Это основа для обобщений.

• если заменить на , то элемент будет входить в сочетание i раз.

• если входит в сочетание четное число раз, но не более чем j раз

• ели входит хотя бы один раз в сочетание (но не более i раз)

! Таким образом, производящая функция способна описывать не только виды элементов, но и виды искомых сочетаний.

Примеры.

1. Задача про магазин.

Пусть имеем n видов элементов, и нет ограничений на число повторений элемента в сочетании. Запишем производящую функцию.

число предметов в выборке

число сортов предметов

r - число предметов, которые выбираем,

k – число типов предметов

Введем еще одно условие для задачи из примера 1:

В каждое сочетание непременно должен входить по крайней мере один элемент каждого вида.

В этом случае будем иметь:

(сменим индексацию )

n – число сортов предметов, которые порождают комбинации

j – число предметов в комбинации (число предметов в выборке)

Пусть имеем 3 класса предметов.

Сколько из них моно составить комбинаций, содержащих 5 предметов?

Условие: в комбинацию входят предметы каждого класса.

Классы предметов – a, b, c.

1). aaabc 2). abbbc 3). abccc 4). aabbc 5). aabcc 6). abbcc