4.2. Теплофізічеськіє обмеження на зростання інтеграції.

  Відведення тепла з ІС відбувається за рахунок теплопровідності матеріалу.

  q = -grad T

  q – густина потоку тепла [q] Вт/м2

к - коефіцієнт теплопровідності. Розмірність:  [к] Вт/м?К (”к” буква «каппа»)

Приведемо приклади кількісних значень к різних матеріалів:

Коефіцієнт теплопровідності технічної міді к = 200 Вт/мК і слабо залежить від температури при T > 100 К.

 

Звернемося до розрахунку перегріву внутрішніх елементів ІС за рахунок тепла, яке виділяється в процесі її роботи.

А) Теплова модель ІС :

  1.          ІС, утворена з мікромогутніх ключів. Енергія витрачається тільки на перезарядку місткостей. При перезарядці вся енергія перетворюється на тепло.

2.          Тепло віддаляється за рахунок теплопровідності матеріалу.

3.          ІС мають форму кулі, на її зовнішній поверхні задана фіксована температура T=T₀ (Припущення про форму ІС у вигляді кулі визначається простотою рішення задачі про теплопровідність).

  Б) Обчислення густини теплової потужності, розсіюваної в об'ємі ІС.

  Елемент схеми – кубик з об'ємом L3.

Знайдемо місткість електродів, розташованих всередині даного елемента:

                              C = (KS)/L = LK ,

де ДК – конструктивний коефіцієнт  - діелектрична проникність матеріалу

  К = 30 – 100

Хай  = 10^-10 Ф/м,    L = 30 мкм, тоді при К = 30-100 одержуємо оцінку величини місткості елемента: С = 0.1 –0.3пФ .

Енергія, запасена в елементі

E = ½ CU² = ½ KLU²

Хай кількість операцій в секунду -  (буква «ню»), тоді потужність, поглинальна одним елементом :

P = E = ½ KLU²

Позначимо через  - відношення числа активних елементів до їх повного числа. У випадку, якщо ІС є процесором, то можна покласти  = 0.01-0.1. Якщо ІС – виконує функцію оперативного пристрою, що запам'ятовує, то правильніше вважати = 0.001-0.01.

Питома густина потужності в ІС, тобто потужність, що доводиться на одиницю об'єму

 = P/V = P/L³ = ½ K(U/L)²

В) Обчислення розподілу температури в кулястій ІС.

Густина потоку теплової потужності

через сферу радіусу r:

q(r) = - gradT(r) 

Використовуючи закон збереження энерги, ми повинні прирівняти потужність, що проходить через сферу радіусу r, і потужність, яка виділяється джерелами тепла в об'ємі кулі радіусу r:

4r²q(r) = 4/3 r³

Звідси одержуємо:

q(r) = 1/3 r

і приходимо до диференціального рівняння для T(r):

1/3 r = - (dT(r)/dr) ,

  Рівняння повинне розв'язуватися за наступних граничних умов:

при r = R, T = T_0.

В результаті одержуємо рішення диференціального рівняння із заданими граничними умовами:

  Знайдемо перегрів в центрі ІС при r = 0

Підставимо сюди вираз для P і одержимо:

  Введемо в розгляд число елементів в ІС :

Звідси слідує

  і 

Помітимо, що , і тоді остаточно одержимо

                                                                                (*)

  Знайдемо також повну споживану потужність і об'єм, займаний ІС:

Хай задано:  U = 1 В

 = 10⁹ Гц                       = 20 Вт/мК (для Si)

 = 0.1                      Т = 20 К

К = 100                      = 10^-10 Ф/м

   Знайдемо максимально допустиме число елементів ІС. З (*) маємо :

при U = 1 В одержуємо число елементів у складі ІС: N ? 10⁶

Таким чином, при теплоотводе за рахунок теплопровідності кремнію одна ІС на основі КМДП (мікромогутня електроніка!) може містити в одному корпусі до 10⁶ транзисторів (один мільйон!). При цьому при L =30 мкм повна споживана (і розсіюванна) потужність та обем корпусу дорівнюють

P_полн = ½ KLU²N = 15 Вт,

V = 10⁶(310^-5)³ = 2710^-9 м³ = 27 мм³

Якщо відмовитися від припущення про форму ІС у вигляді кулі, а розглянути плоский корпус завтовшки H = 1 мм, то площа ІС складе 27 мм2                   ~5х6 мм

Якщо розглянути ІС як пристрій пам'яті, то параметр ? може бути істотно понижений, скажемо до  = 10^-3

Тоді : ,

а допустиме число елементів виросте до N = 10⁹

При цьому споживана потужність виросте до 150 Вт, а об'єм ІС складе 27см2 .

Про споруду такого роду ОЗУ можна говорити як про перспективу осяжного, але не дуже далекого майбутнього. Можна уявити собі розмір сторони кубика, що вміщає один елемент : L = 10мкм.

Тоді для ІС ОЗУ при N = 109 одержимо: P = 50 Вт,                  V = 1 см3