1.13 Решение задач в перемещениях

Из уравнения (1.24) с помощью (1.15) имеем:

(1.40)

где

Дифференцируя (1.40) и внося производные в первое уравнение (1.2), имеем:

. (1.41)

Выражение в первой скобке может быть записано так:

.

Аналогично можно преобразовать и другие два уравнения (1.2), но можно и сразу написать результат, сделав круговую подстановку букв.

Итак, приходим к следующей системе основных уравне­ний метода перемещений теории упругости:

. (1.42)

Эти уравнения носят название уравнений Ляме. Они яв­ляются синтезом статического, геометрического и физического обследований задачи.

Поверхностные условия также можно преобразовать, выразив напряжения через перемещения.

Подставив в первое уравнение (1.4) на место на­пряжений выражения для них в форме (1.40), имеем:

. (1.43)

Уравнения (1.42) совместно с условиями на поверхности (1.43) позволяют перейти к решению задач теории упругости в перемещениях.

1.14 Решения задач в напряжениях

В противоположность приему, принятому в предыдущем разделе, когда во всех преобразованиях преследовали цель выразить неизвестные через перемещения, можно по­ставить другую: все выражать через напряжения. Сообщим окончательные результаты и ограничимся случаем статического равновесия тела при ус­ловии отсутствия объемных сил или их постоянства.

Трех условий равновесия (1.2) недостаточно, и надо обратиться к условиям неразрывности деформаций (1.17,а) и (1.17,б). Так как в последние входят деформации, их необходимо выразить через напряжения с помощью (1.24). Выпол­нив эту подстановку и пользуясь одновременно уравнениями равновесия (1.2), уравнения неразрывности преобразуют к сле­дующему виду (уравнения Бельтрами):

, (1.44)

где = 3_ср.= _х + _у + _z .

Таким образом, для решения задачи придется проинтегри­ровать девять уравнений (1.2), (1.44), а входящие в общие ре­шения этих уравнений произвольные функции определить из условий на поверхности (1.4).

1.15 Случай температурного поля

Если элементарный параллелепипед, предположить подверженным только тепловому воздействию, то его деформация характеризовалась бы следующими ком­понентами:

где а – коэффициент линейного теплового расширения и Т — температура. Будем полагать, что рассматриваемое тем­пературное поле не слишком высокое, чтобы могли изме­ниться упругие характеристики материала (в частности модуль упругости).

При одновременном наличии компонентов напряжений и теплового эффекта, компоненты деформации, используя (1.20), запишем так:

. (1.45)

Если в первых трех выражениях аТ перевести в левую часть равенств и обозначить

то уравнения (1.45) примут вид, сходный с (1.20) с заменой _x на , _y на и _z на .

В таком случае можно использовать вариант обобщенного закона Гука. Тогда получим:

. (1.46)

где .

Компоненты уравнений теории упругости для решения такой задачи будут складываться из прежних дифференциальных уравнений равновесия (1.2), прежних геометрических уравнений (1.15), прежних условий на границе (1.4) и новых физических уравнений (1.45) или (1.46), составленных для случая тепло-вого эффекта.

Эти уравнения можно переписать в виде:

. (1.47)

Если теперь проделать выкладки, как в разделе 1.13, то взамен (1.42) придем к уравнениям

(1.48)

Сравнивая (1.48) с (1.47), можно заключить, что при вычисле­нии перемещений неравномерность нагрева тела как бы равно­сильна добавлению к реальным объемным силам (X, Y, Z) не­которых фиктивных объемных сил, пропорциональных градиентам температур, т. е. пропорциональных а при вычислении напряжений (1.47) появлению до­полнительных членов, пропорциональных температуре.