Добавил:
dipplus.com.ua Написание контрольных, курсовых, дипломных работ, выполнение задач, тестов, бизнес-планов Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Belous / Глава 5(прод.).doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
08.02.2020
Размер:
404.48 Кб
Скачать

5.11 Примеры

Пример 5.1. Тонкостенный сосуд, выполненный в виде полусферы, свободно закреплен по диаметральной окружности и частично нагружен, как показано на рис. 108,а, жидкостью с объемным весом = 0,01 Мн/м3. Прене-брегая собственным весом сосуда, построить эпюры изменения главных напря­жений m и T в его стенке. Решение. Рассмотрим отдельно участок сосуда, испытывающий давление жидкости, и участок, не испытывающий этого давления.

1. 45 < < 90° (участок ВА).

Из условия равновесия отсеченного от сосуда сегмента, показанного на рис. 108,б, по формуле (5.4) меридиональное погонное усилие

.

Вес жидкости G равен объему шарового сегмента высотой у, умноженному на объем­ный вес:

. (5.95)

Выразим радиус R через у и а. Из прямоугольного треугольника

откуда

.

а

б

в

г

Рис. 108

Подставим это выражение в формулу (5.95):

.

Учитывая, что , получим

.

Выразим через R и интенсивность нагрузки q:

.

Подстановка найденных выражений для G и q в формулу (5.4) даст погонное меридиональное усилие

. (5.96)

Общий множитель, если R1 = R2 = R = 3 м,

.

Окружное погонное усилие NТ находим из уравнения Лапласа (5.3):

или, подставляя вместо q его выражение,

. (5.97)

Таблица 5

,

град

sin 

cos 

(1-cos )3

cos3

0,25sin 

(1-sin )3

12cos2

Nm

R2

Nm103,

Мн/м

Формула

0

-

1,000

-

1,000

-

-

-

3,54

(5.98)

30

-

0,870

-

0,755

-

-

-

4,08

(5.98)

45

0,705

0,705

0,0256

0,496

0,176

0,0040

0,080

7,20

(5.98); (5.96)

60

0,870

0,500

0,0022

0,250

0,217

0,0007

0,118

10,62

(5.96)

90

1,000

0

0

0

0,250

0

0,150

13,50

(5.96)

  1. 0 < < 450 (участок СВ).

Высота жидкости в сосуде

Вес G жидкости в сосуде

.

Таблица 6

,

град

Nm103,

Мн/м

sin   0,707

R2(sin  

 0,707)  103,

Мн/м

NT103,

Мн/м

Формула

0

3,54

-

-

3,54

(5.99)

30

4,68

-

-

4,68

(5.99)

45

7,20

0

0

7,20

(5.99);

(5.97)

60

10,62

0,165

14,85

+4,23

(5.97)

90

13,50

0,295

26,55

+13,05

(5.97)

Погонное меридиональное усилие

. (5.98)

Погонное окружное усилие NT найдем из уравнения Лапласа:

. (5.99)

Оно равно по величине и противоположно по знаку меридианальному.

Результаты подсчета погоных усилий представлены в табл. 5 и 6. По данным этих таблиц построены эпюры усилий Nm и NT (рис. 108,в, г).

Пример 5.2. Цилиндрический сталь­ной корпус, имеющий подкрепляющие кольца и торцы (рис. 109), подвержен внутреннему давлению q = 2 Мн/м2. Построить эпюры мери­диональных изгибающих моментов Мх вблизи от подкрепляющих колец в двух предполо­жениях: 1) кольца абсолютно жесткие; 2) кольца упругие. Модуль упругости Е= 2  105 Мн/м2; = 0,3.

Рис. 109

Решение. 1. Вычисление вспомогательных величин.

Цилиндрическая жесткость

.

Коэффициент затухания

.

Длина оболочки, при которой ее можно считать длинной,

Так как l = 0,6 > 0,266 м, можно не учитывать совместное влияния двух подкрепляющих колец на расположенную между ними оболочку и вести расчет по формулам для длинной оболочки. В формулы, выведенные для цилин­дрической оболочки, подверженной наружной нагрузке интенсивностью q, нужно интенсивность подставлять со знаком минус.

2. Определим изгибающие моменты Мх в предположении, что кольца абсолютно жесткие.

Сила взаимодействия между кольцами и оболочкой по формуле (5.70)

.

Погонная поперечная сила Q на оси кольца

.

Погонный изгибающий момент М0 на оси кольца

.

Ординаты эпюры погонных изгибающих моментов

или после упрощения

.

Функции и берутся из табл. 4. В табл. 7 представлены результаты вычислений ординат Мх. По данным таблицы построена эпюра на рис. 110.

Таблица 7

точки

х

х, см

(х)

(х)

1,52(х),

Мн

3,05(х),

Мн

Мх103,

Мн

0

0

0

1,0000

0

1,520

0

1,520

1

0,2

0,85

0,9651

0,1627

1,464

0,495

0,966

2

0,4

1,65

0,8784

0,2610

1,332

0,795

0,537

3

0,6

2,54

0,7628

0,3099

1,160

0,945

0,215

4

0,8

3,40

0,6354

0,3223

0,965

0,982

0,017

5

1,0

4,25

0,5083

0,3095

0,775

0,945

0,170

6

1,5

6,34

0,2384

0,2226

0,363

0,680

0,317

7

2,0

8,50

0,0667

0,1230

0,101

0,375

0,274

8

2,5

10,6

0,0166

0,0492

0,025

0,160

0,175

9

3,0

12,7

0,0423

0,0071

0,064

0,022

0,086

10

4,0

16,9

0,0258

0,0139

0,039

0,042

+0,003

11

5,0

21,2

0,0046

0,0065

0,007

0,0020

+0,013

Положение нулевых точек эпюры изгибающих моментов (см. рис. 110) опре­деляется расстоянием

После второй нулевой точки, на расстоянии 3,33 + 13,33 = 16,66 см от оси кольца, изгибающие моменты уменьшаются до величины

Рис. 110

и вызывают напряжение

Это напряжение настолько мало, что его можно не учитывать.

  1. Определяем изгибающие моменты Мх в предположении, что кольца упругие. Моменты Мх пропорциональны краевому изгибающему моменту М0 и краевой поперечной силе Q0, которые, в свою очередь, пропорциональны силе взаимодействия Х. Поэтому ординаты эпюры Мх получаются путем умножения ординат эпюры Mх, вычисленных в табл. 7, на коэффициент

Таким образом, при учете податливости колец погонные изгибающие моменты составляют лишь 43% от моментов, вычисленных в предположении жестких ко­лец. Соответствующая эпюра изгибающих моментов Мх построена на рис. 110 штриховой линией.

Пример 5.3 Для оболочки, рассмотренной в предыдущем примере, построить эпюры погонных изгибающих моментов Мх и погонных поперечных сил Qx в месте примыкания оболочки к плоскому торцу, возника­ющих от внутреннего давления q = 50 н/см2, вычислить главные напряжения x и y и составить условие прочности по третьей теории прочности. Допускаемое напряжение [] = 40 000 н/см2.

Решение. По табличным формулам находим значения погонных краевых изгибающих моментов М0 и поперечных сил Q0 для случая примыкания цилин­дрической оболочки к плоскому торцу, приняв следующие исходные данные:

 геометрические размеры

h1 = h2 = h = 1 cм; R = 30 см;

 упругие постоянные Е = 2  107 н/см2; = 0,3;

D1 = D2 = D = 1,83  106 нсм;

 интенсивность радиальной нагрузки

q = 50 н/cм2;

 коэффициент затухания перемещений

1 = 2 = = 0,236 1/см.

Погонный изгибающий момент в сечении оболочки, примыкающем к торцу, вычисляется по формуле(5.85):

Погонная поперечная сила в этом сечении вычисляется по формуле (5.84)

Зная М0 и Q0, можно вычислить погонные изгибающие моменты Мх и погонные поперечные силы Qх вдоль обра­зующей х:

Функции (x), (х) и (х) берутся из табл. 4. В табл. 7 представлены результаты вычислений ординат изгибающих моментов Мх и поперечных сил Qх. По данным таблицы построены эпюры на рис. 111. Положение нулевых точек эпюры Qх опре­деляется расстояниями (х0)1 = 1,25 см и (х0)2 = 14,8 см. В этих сечениях изги­бающие моменты достигают максимума.

Таблица 8

точки

х

х, см

(х)

(х)

(х)

5170(х)

1258(х)

5325(х)

2440(х)

Мх,

нсм/см

Qx,

н/см

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

0

0

1,000

0

1,000

5170

1258

0

0

5170

1258

1

0,2

0,85

0,9653

0,1627

0,6398

5000

802

870

480

5870

322

2

0,4

1,65

0,8784

0,2610

0,3564

4537

448

1390

770

5927

322

3

0,6

2,54

0,7628

0,3099

0,1431

3940

180

1650

912

5590

732

4

0,8

3,40

0,6354

0,3223

0,0093

3284

12

1720

952

5004

964

5

1,0

4,25

0,5083

0,3096

0,1108

2625

136

1650

915

4275

1051

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

6

1,5

6,34

0,2384

0,2226

-0,2068

1237

260

1188

657

2425

917

7

2,0

8,5

0,0667

0,1230

-0,1794

345

226

655

362

1000

588

8

2,5

10,6

0,0166

0,0492

-0,1149

86

144

262

145

176

289

9

3,0

12,7

0,0423

0,0071

--0,0563

218

70

37

21

181

91

10

4,0

16,9

0,0258

0,0139

0,0019

134

2

74

41

208

43

11

5,0

21,2

0,0046

0,0065

0,0084

24

10

34

19

58

29

Рис. 111

Изгибающий момент в плоском днище вычисляется как для круглой пла­стины, нагруженной по контуру погонными радиальными моментами. Эти мо­менты постоянны по диаметру торца и вызывают шаровой изгиб. Кроме того, на торец действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q. Она вызывает изгибающие моменты Mr, показанные на рис. 112.

В центре днища от нагрузки q

Эпюру радиальных изгибающих моментов строим по принципу независи­мости действия сил как суммарную эпюру моментов, возникающих под действием моментов М0 и нагрузки q.

Рис. 112

Наиболее напряженная точка нахо­дится на расстоянии (х0)1=1,25 см от места примыкания цилиндрической обо­лочки к торцу. В этом месте действуют погонные усилия:

My = Mx = 0,3  5950 = 1780 (н см)/см;

Для определения четвертого члена в формуле (5.94) для экваториального (окружного) нормального напряжения у необходимо вычислить радиальное пере­мещение wx в сечении, в котором про­изводится вычисление напряжений:

Наибольшие главные нормальные напряжения:

 меридиональное, действующее вдоль образующей, по формуле (5.93)

 экваториальное, действующее вдоль окружности, поперечного сечения, по формуле (5.94)

Условие прочности по третьей теории прочности при 3 = 0:

Пример 5.4. Для цилиндрической оболочки, нагруженной радиальной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 30 н/см и защем­ленной концами (рис. 113,а), вычислить ординаты перемещений wx по радиусу и построить изогнутую срединную поверхность. Материал – титан. Модуль упру­гости Е= 1,1  107; коэффициент Пуассона = 0,3.

Решение. Цилиндрическая жесткость

Коэффициент затухания перемещений

Отношение

следовательно, оболочка длинная.

Перемещения w находим наложением решений для незащемленной обо­лочки, нагруженной радиальным давлением q (рис. 113,в), и для оболочки, на­груженной усилиями М0 и Q0 на торцах (рис. 113,б).

а

б

в

Рис. 113

Условие совместности деформации

Условие защемления  равенство нулю угла наклона касательной к оболочке в защемлении:

Эти два условия такие же, как для оболочки, подкрепленной абсолютно жесткими кольцами. Поэтому выражения для изгибающего момента М0 и поперечной силы Q0 в защемлении те же, что и для подкрепленной оболочки:

Зная эти усилия, перемещения в любой точке можно вычислить по формуле

Первый член в этой формуле вычисляется согласно (5.48), а второй

Характер изогнутой средней поверхности показан на рис. 113.

181

Соседние файлы в папке Belous