5.10 Напряженное состояние цилиндрической оболочки и условие прочности

Наибольшие напряжения в цилиндрической оболочке склады­ваются алгебраически из напряжений мембранных, напряжений от изгиба моментами М_х и M_y и температурных напряжений _t, если они есть. Пренебрегая напряжениями _z =  q малыми по сравнению с напряжениями _x и _y (см. рис. 92), элемент оболочки, выделенный двумя меридиональными и двумя экваториальными сечениями, можно считать испытывающим плоское деформированное состояние.

Так как касательные напряжения

то нормальные напряжения _x и _y представляют собой главные напряжения. Наибольшее нормальное напряжение, действующее по поперечному сечению цилиндра и направленное вдоль образую­щей (см. рис. 92), возникает на одной из поверхностей оболочки и вычисляется как алгебраическая сумма

(5.93)

Знаки плюс или минус в выражении (5.93) зависят от направ­ления нагрузки q, характера изменения температуры и располо­жения точки, в которой определяется напряжение на внутренней или наружной поверхности оболочки.

Наибольшее нормальное напряжение, действующее по радиаль­ному сечению и направленное по касательной к окружности,

(5.94)

В уравнении (5.94) последний член представляет собой напря­жение, вызванное обжатием оболочки вследствие радиального перемещения w_x,

Алгебраически большее из двух отрицательных напряжений, вычисленных по формулам (5.93) и (5.94), в случае наружного давления будет главным напряжением ₂, меньшее  главным напряжением ₃. Главное напряжение ₁ равно нулю. В случае внутреннего давления главное напряжение ₁ равно алгебраически большему из двух положительных напряже­ний, ₂ равно меньшему, a ₃ равно нулю. Поэтому в условии прочности по третьей теории прочности

одно из слагаемых в левой части при любом нагружении равно нулю и условие прочности будет

.

По четвертой теории прочности условие прочности при внутрен­нем давлении

.

Найдем, например, главные напряжения и составим условие прочности для цилиндрической оболочки, подвергнутой наруж­ному давлению q, считая температурные воздействия отсутствую­щими.

В сопряжении цилиндра с торцом мембранные напряжения сжимающие, напряжения от изгиба у торца растягивающие на наружной поверхности оболочки и сжимающие на внутренней, напряжения от обжатия сжимающие. Поэтому на внутренней поверхности

а на наружной поверхности, с учетом того, что местные напряже­ния больше мембранных и возникающих от обжатия,

Так как на внутренней поверхности абсолютная величина нормальных напряжений больше, чем на наружной, условие прочности примет вид

.

Местные напряжения от краевого эффекта не всегда следует считать расчетными. Для пластических материалов концентрация местных напряжений, превышающих допускаемые, захватываю­щая небольшой участок конструкции, при статическом постоян­ном действии нагрузки иногда допускается. Если же такое перенапряжение происходит периодически, например при многократном повышении и спаде давления, оно может вызвать возникновение усталостной тре­щины именно в зоне концентрации и не может быть допущено. Расчетными считаются также местные напряжения и для оболочек, выполненных из хрупких материалов.

В ряде случаев при наружном давлении размеры оболочки лимитируются не рассмотренными условиями прочности, а усло­виями устойчивости. Оболочки нередко должны допол­нительно удовлетворять требованиям стойкости в коррозионно-агрессивных средах и при других химических воздействиях. Для оболочек, подверженных действию высокой температуры, допускаемое напряжение следует назначать с учетом возможной ползучести материала.