Уравнения (5.82) и (5.83) содержат две неизвестные величины: М₀ и Q₀. Решая систему, находим погонную поперечную силу и изгибающий момент в сопряжении оболочки с плоским торцом

; (5.84)

. (5.85)

Пользуясь выражениями радиальных смещений w и углов поворота  сечений оболочек и уравнениями (5.76) и (5.77) совместности деформаций, можно аналогичным путем вывести формулы для погонных поперечных сил Q₀ и погонных изгибающих моментов М₀ , возникающих в сопряжении цилиндрической оболочки с торцевой, имеющей форму полусферы, шарового сегмента, конуса или плоской пластины, при различных толщинах оболочки в цилиндрической и торцевой частях. Зная Q₀ и М₀, можно вычислить w_x, Q_x и М_х в любой точке цилиндрической части, пользуясь формулами (5.33), (5.55), (5.56).

5.8 Определение перемещении и усилий в короткой цилиндрической оболочке

Выше (расчетный случай 2) указывалось, что когда расстоя­ние l между торцами или подкрепляющими кольцами цилиндри­ческой оболочки меньше отношения , усилия и перемещения в оболочке следует определять, учитывая ее ограниченную длину. В этом случае удобнее пользоваться для интеграла дифференциаль­ного уравнения равновесия элемента (5.32) формулой (5.34), а не (5.33), а начало координат располагать в середине длины оболочки.

Кроме того, для определения произвольных постоянных инте­грирования должны быть составлены другие граничные условия. Например, первое условие для расчетного случая 1, составленное в предположении равенства нулю радиаль­ного перемещения w при абсциссе х, стремящейся к бесконечности, не может быть использован для короткой оболочки, но имеется возможность использовать граничные условия на обоих торцах оболочки.

Для примера составим урав­нение изогнутой срединной поверхности для нагрузки Q₀ и M₀ (см. расчетный случай 1), приложенной к короткой обо­лочке (рис. 105). Так как интен­сивность нагрузки q = 0, урав­нение изогнутой срединной по­верхности в соответ­ствии с формулой (5.34)

Рис. 105

Постоянные A определяем из следующих граничных условий:

Так как каждое из последних двух условий объединяет в себе два условия (плюс или минус ), число уравнений, необходимых для определения постоянных А, достаточно. Усилия и перемещения в коротких оболочках удобно выражать с помощью тригонометри­ческих и гиперболических функций от .

5.9 Температурные напряжения в цилиндрической оболочке

1. Одинаковое постоянное изменение температуры во всех направлениях. Если торцы оболочки свободны и деформация ее как в радиальном направлении, так и вдоль образующей не стес­нена, напряжения при равномерном изменении температуры не возникают. При любом способе симметричного закрепления торов (рис. 106) в торцевом сечении возникают те или иные реактив­ные погонные усилия: изгибающие моменты (M₀)_t, продольные (N₀)_t и поперечные (Q₀)_t силы.

а	б

Рис. 106

Для нахождения изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих при изменении температуры на , приравняем радиальные температурные перемещения, равные абсолютному изменению дли­ны радиуса,

радиальным пере­мещеням w_x=0 в сечении х = 0, вызванным погонными момен­тами (M₀)_t и поперечными силами (Q₀)_t [см. формулу (5.57)]. Получим уравнение

, (5.86)

содержащее два неизвестных: .

Второе уравнение, содер­жащее эти два неизвестных, получится из условия равен­ства нулю угла  наклона касательной к оси х в защем­лении (рис. 106,а) или в се­редине пролета (рис. 106,б). Для защемленной оболочки (рис. 106,a) это условие запишется по формуле (5.58)

, (5.87)

для опертой оболочки (рис. 106,б)  по формуле (5.54)

. (5.88)

Решая совместно уравнения (5.86) и (5.87) или (5.86) и (5.88), можно найти усилия (M₀)_t и (Q₀)_t, а затем w, Q_x и М_x в любом сечении с по­мощью формул (5.53), (5.55) и (5.56).

Погонная продольная сила (N_x)_t, возникающая при закрепле­нии торцов оболочки, определяется из условия совместности дефор­мации вдоль оси х

откуда

.

2. Постоянная разность температур в радиальном направле­нии. Обозначим через t₁ температуру на внутренней поверхности оболочки и через t₂  на наружной. В сечениях, удаленных от закрепленных торцов, или в случае, если торцы свободны, местного изгиба нет. Предположим, что температура и вызванные ею отно­сительные линейные деформации изменяются по толщине h обо­лочки по линейному закону (рис. 107). Примем t₂ > t₁ и обозначим

.

Относительная температурная де­формация наружного волокна обо­лочки

.

Рис. 107

С другой стороны, эта же деформа­ция, на основании гипотезы пло­ских сечений

,

где ₁  радиус образующих цилин­дра при изгибе.

Приравняв эти выражения друг другу, получим кривизну

. (5.89)

В то же время искривление образующей цилиндрической обо­лочки под действием изгибающего погонного момента М_х харак­теризуется кривизной [см. формулу (5.26)]

. (5.90)

Если торец защемлен, искривления образующей не происходит, погонный изгибающий момент М_х находим, приравнивая выра­жения (5.89) и (5.90):

Наибольшие нормальные напряжения в крайних волокнах

. (5.91)

В случае t₂ > t₁ знак плюс соответствует наружной поверхно­сти оболочки, знак минус  внутренней. Около закрепленных торцов возникает местный изгиб, и на напряжение по формуле (5.91) алгебраически накладываются напряжения, вычисленные по значению, из условия удов­летворения граничным условиям.

3. Постоянная разность температур в направлении оси х. Изменение температуры вдоль оси х вызывает изгиб оболочки, обусловленный различными радиальными перемещениями попереч­ных сечений. Он может описываться дифференциальным урав­нением, аналогичным уравнению(5.32), если подставить в него переменную интенсивность q, вызывающую такие же деформации, как и переменная температура.

Примем закон изменения температуры по длине оболочки

Относительное окружное напряжение по закону Гука

а погонная продольная сила

.

С другой стороны, N_у = —qR (см. рис. 101), откуда интенсив­ность радиальной нагрузки, эквивалентной температурному воздействию,

.

Подстановка этого значения в уравнение (5.32) дает

(5.92)

и задача сводится к интегрированию дифференциального урав­нения (5.92).