5.4 Изгиб цилиндрической круговой оболочки

Основные зависимости для случая изгиба замкнутой кру­говой цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным ра­диальным давлением q (рис. 91), можно получить без использо­вания общей теории оболочек. Считаем, что отношением толщины оболочки к радиусу кривизны можно пренебречь ввиду его малости по сравнению с единицей. В таком случае при изгибе деформации и напряжения пропорциональны расстоянию z от волокна до срединной поверхности, а при отсутствии изгиба распределяются равномерно по толщине оболочки.

Рис. 91

Выделим из оболочки элемент двумя поперечными сечениями, находящимися на расстоянии dx друг от друга, и двумя радиаль­ными сечениями, образующими между собой угол d. Усилия, действующие на вырезанный элемент, показаны на рис. 92.

Рис. 92

Вследствие круговой симметрии оболочки и нагрузки относительно оси цилиндра поперечная силы Q_y и крутящие моменты Н отсут­ствуют, а продольная сила N_y и изгибающий момент M_y постоянны по длине окружности. Вследствие того, что давление q нормально к срединной поверхности, сдвигающие силы Т отсутствуют. Поэтому для десяти составляющих усилий (5. 1) имеем:

.

Остаются лишь усилия, указанные на рис. 92, причем усилия N_у и M_y при переходе от одного радиального сечения к другому не получают приращения. Из шести уравнений равновесия три превращаются в тождества. Остальные три запишутся так:

(5.13)

(5.14)

(5.15)

На основании уравнения (5.13) можно заключить, что т. е. продольная сила N_x постоянна. В частности, она может рав­няться нулю при отсутствии у цилиндрической оболочки торцовых днищ.

Уравнение (5.14) после замены , сокращения двойки в первом члене и всех членов на dxd примет вид

. (5.16)

В уравнении (5.15) второй член высшего порядка малости может быть отброшен. Тогда после сокращения на Rd dx оно примет вид:

. (5.17)

Это уравнение показывает, что установленная для стерж­ней зависимость между поперечной силой и изгибающим моментом справедлива и в отношении к рассматриваемой оболочке. Подста­вив эту зависимость в формулу (5.16) и перейдя от частных произ­водных к полным дифференциалам, ввиду того, что осталась единственная переменная х, получим

. (5.18)

Уравнение (5.18) содержит два неизвестных: N_y и М_x, поэтому для их нахождения необходимо еще одно уравнение, кото­рое составляется исходя из известной величины продольной силы

. (5.19)

От дифференциального уравнения (5.18) в усилиях перейдем к диф-ференциальному уравнению в радиальных перемещениях w. Для этого усилия выразим через деформации, а деформации через перемещения.

На основании закона Гука (1.20) при _z = 0

(5.20)

. (5.21)

Приравняв правые части уравнений, найдем:

. (5.22)

Относительная окружная деформация

. (5.23)

Подставив значения _x из формулы (5.23) в (5.21), на основании формулы (5.24) получим выражение для про­дольной силы

,

а после раскрытия скобок

. (5.25)

Изгибающие моменты, выраженные через перемещения w, определим с учетом дополнительного момента (М_х)_Nx = Nw, который дает продольная сила:

.

Так как при равномерном радиальном сжатии поперечное сечение цилиндра остается круговым, радиальное перемещение w одинаково во всех точках окружности и кривизна изогнутой сре­динной поверхности в экваториальном направлении от изгиба

Поэтому изгибающие моменты от поперечной нагрузки q

, (5.26)

, (5.27)

а изгибающий момент

. (5.28)

Подставим найденные значения (5.25) и (5.28) в уравнение (5.18):

.

Группируя члены, меняя знаки, учитывая выражение (5.19) и счи­тая, что D постоянная величина, получаем дифференциальное уравнение равновесия элемента цилиндрической оболочки в пере­мещениях

. (5.29)

Продольная сила N_x влияет на величину перемеще­ния w незначительно, поэтому, пренебрегая ею, вместо формулы (5.23) на основании (5.26) имеем

;

вместо формулы (5.25)

, (5.30)

и вместо формулы (5.28)

. (5.31)

Тогда приближенное дифференциальное уравнение равновесия элемента цилиндрической оболочки в перемещениях

. (5.32)

В уравнении (5.31) введено обозначение

.

Величина

называется коэффициентом затухания перемещений. Она показы­вает, насколько затухают перемещения по мере удаления от места приложения усилия.

Расчет цилиндрической оболочки, как точный с помощью фор­мулы (5.29), так и приближенный с помощью формулы (5.32), дает близкие результаты. Поэтому в дальнейшем будем пользо­ваться уравнением (5.32). Если проинтегрировать его и получить приближенное уравнение изогнутой срединной поверхности оболочки w = f (x) (без учета влияния продольной силы N_х), то все усилия и перемещения, характеризующие напряженно деформиро-ванное состояние обо­лочки, получатся по формуле (5.19), (5.30), (5.31) (5.27) и (5.17).

Угол наклона касательной к изогнутой срединной поверхности

.

Следует иметь в виду, что знаки в перечисленных формулах преду-сматривают внешнее радиальное давление q. При внутрен­нем давлении знаки должны быть изменены на обратные.

Интеграл дифференциального уравнения (5.32) складывается из интеграла однородного уравнения и частного решения уравнения (5.32); он может быть представлен с помощью показатель­ных функций в виде

. (5.33)

или, если заменить показательные функции гиперболическими на основании зависимостей

,

в виде

. (5.34)

В выражениях (5.33) и (5.34) f(х) частное решение диф­ференциального уравнения (5.32). В случае радиальной нагрузки интенсивностью q, равномерно распределенной по поверхности оболочки, частное решение f(х), имеет вид

. (5.35)

При этом

,

и уравнение (5.32) при подстановке в него решения (5.35) превра­щается в тождество.

Коэффициенты С₁, . . ., С₄ и А₁, . . ., А₄ представляют собой произвольные постоянные, опреде­ляемые из граничных условий. Если усилия и перемещения на одном конце цилиндрической оболочки не влияют на усилия и пере­мещения, возникающие на другом конце, оболочка считается длинной. Если эти факторы влияют друг на друга, то оболочка считается короткой.

Если в дифференциальном уравнении (5.32) принять правую часть равной нулю (при отсутствии радиальной нагрузки q), то оно примет вид

. (5.36)

Уравнение (5.36) представляет собой уравнение балки на упругом основании, в нем принято обозначение

, (5.37)

где k коэффициент постели, связывающий интенсивность реак­ции основания q с прогибом балки w:

q = -kw.

Вследствие аналогии между уравнениями (5.32) и (5.36) полоску шириной, равной единице, вырезанную из цилиндриче­ского сосуда вдоль образующей, можно рассматривать как балку на упругом основании и использовать все решения, применяемые при расчете такой балки, для расчета цилиндрической оболочки. При этом реакция основания

,

что следует из рис. 93.

Рис. 93

Для полоски шириной, равной единице, центральный угол дуги , а сжимающие силы .

Поэтому

.

Следовательно,

и коэффициент (5.37), если заменить в его выражении жесткость балки EJ цилиндрической жесткостью D,

представляет собой коэффициент затухания перемещений.