
- •Глава 5
- •5.1 Общие сведения об оболочках
- •5.2 Понятие о расчете оболочки произвольной формы
- •5.3 Оболочка вращения, нагруженная нормальным давлением
- •5.4 Изгиб цилиндрической круговой оболочки
- •5.5 Определение усилий и перемещений в длинной цилиндрической оболочке
- •5.6 Длинная цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцами
- •5.7 Местные напряжения в сопряжении оболочек
5.3 Оболочка вращения, нагруженная нормальным давлением
На рис. 84 показана оболочка вращения с постоянной толщиной, нагруженная нормальным давлением интенсивностью q. Вырежем из нее двумя меридиональными сечениями 1 и 2 и двумя экваториальными сечениями 3 и 4 малый элемент abcd, имеющий размеры ds1 и ds2. Радиусы кривизны R1 и R3
Рис. 84
кривых 1 и 3 в какой-либо точке К оболочки совпадают, так как оба радиуса направлены по нормали к касательной плоскости I – I в этой точке. Центр кривизны 01 меридиональной кривой может лежать как внутри очертания оболочки, так и вне оболочки в зависимости от того, выпуклая она или вогнутая, и в зависимости от величины радиуса кривизны R1, а центр кривизны 02 лежит на оси вращения . Геометрическое место радиусов R3 представляет собой коническую поверхность с вершиной, расположенной на оси .
Составим условия равновесия элемента abcd в виде суммы проекций всех сил, действующих на элемент, на нормаль п к оболочке, проведенную в центре элемента (рис. 85,а). Так как по четырем граням, которыми выделен элемент, в силу симметрии оболочки и нагрузки относительно оси вращения касательные напряжения отсутствуют, эти грани представляют собой главные площадки, а нормальные напряжения главные напряжения: меридиональное m и окружное T.
а |
б |
|
|
Рис. 85
На рис. 85,б показаны три проекции элемента abсd и напряжения, действующие по его граням. Сумма проекций усилий, приложенных к элементу, на нормаль
Принимая
и
учитывая, что
,
получаем
или, после сокращения на произведение ds1ds2 и переноса давления q и толщины h в правую часть,
.
(5.2)
Так как погонные усилия, действующие в экваториальном и меридианном сечениях,
,
можно получить уравнение (5.2), записанное через погонные усилия,
.
(5.3)
Уравнение (5.2) или его разновидность (5.3) называется уравнением Лапласа.
При выводе формул Лапласа внутреннее давление q считалось положительным. Наружное давление q следует подставлять в формулы (5.2) и (5.3) со знаком минус. Радиусы кривизны R1 и R2 считаются положительными для выпуклого сосуда и отрицательными для вогнутого. При пользовании указанными правилами знаков положительное усилие или напряжение соответствует растяжению, а отрицательное сжатию.
Уравнение Лапласа содержит два неизвестных меридиональные и окружные напряжения (или усилия). Для их определения необходимо дополнительное уравнение, которое получается при отсечении от оболочки части ее и составлении условия равновесия для оставшейся части. Рассекающая плоскость Р Р обычно выбирается нормальной к оси вращения , но стенка оболочки пересекается по нормали к меридиану (рис. 86). Отбрасывать удобно ту часть, на которой находятся опорные связи, верхнюю на рис. 86,а и нижнюю на рис. 86,б и в.
а |
|
б
в |
|
Рис. 86
Уравнение равновесия оставшейся части подвешенного сосуда, показанной на рис. 86,а сплошной линией, составляем в виде суммы проекции на ось вращения всех сил, действующих на эту часть:
,
откуда
.
(5.4)
В случае опертой оболочки, показанной на рис. 86,б и в, второй член G числителя формулы (5.4) будет отрицательным. В формуле (5.4) приняты обозначения: qz гидростатическое или газовое давление на уровне Р Р (в случае гидростатического давления qz = (Н z), где объемный вес жидкости); G вес жидкости в оставшейся части сосуда; угол между касательной к меридиональному сечению на уровне Р Р и осью вращения.
Первый член в числителе формулы (5.4) выражает вес цилиндра, имеющего радиус основания R2 cos и высоту (H – z). Поэтому в случае опертой оболочки числитель формулы (5.4) представляет собой разность весов цилиндра с основанием, равным площади сечения Р Р, и части сосуда, расположенной выше этого сечения. Эта разность пропорциональна разности объемов, показанных на рис. 86,б и в штриховкой. Если разность положительна, усилие Nm растягивающее (объем цилиндра больше объема сосуда рис. 86,б), если разность отрицательна, усилие Nm сжимающее (объем цилиндра меньше объема сосуда рис. 86,в).
Рассмотрим применение этих уравнении в частных случаях.
-
Шаровая оболочка с радиусом R, нагруженная радиальной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 87).
Рис. 87
В этом случае в силу шаровой симметрии
(5.5)
и напряжение в любой точке и по любому нормальному сечению может быть найдено без помощи дополнительного уравнения. Подстановка значений (5.5) в уравнение (5.2) дает
.
Относительная окружная и равная ей относительная меридиональная деформации по закону Гука
.
(5.6)
С другой стороны, относительная окружная деформация
.
(5.7)
Приравняв друг другу выражения (5.6) и (5.7), найдем радиальное перемещение
или, заменив его выражением (5.6), получим:
.
-
Цилиндрическая оболочка с радиусом R, нагруженная нормальной к поверхности равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 88).
Рис. 88
В этом случае главные радиусы кривизны
R1 = и R2 = R.
Поэтому на основании формулы (5.2) окружное (экваториальное) напряжение
,
где D диаметр цилиндра.
Второе главное напряжение меридиональное напряжение m находится из условия равновесия части оболочки слева от сечения А А. Равнодейству-ющая Q давления на торец уравновешивается усилиями, направленными вдоль образующей, действующими по кольцу, получающемуся при рассечении цилиндра плоскостью А А. Тогда
,
откуда
.
При отсутствии торцовых днищ в коротком цилиндре m = 0, а в длинном m = T.
Относительная окружная деформация T для цилиндрической оболочки вычисляется так же, как и для шаровой [см. формулу (5.7)]. Такую же величину имеет и относительная радиальная деформация r:
,
(5.8)
но по закону Гука
.
(5.9)
Приравняв выражения (5.8) и (5.9), найдем радиальное перемещение
или, заменив T и m их выражениями,
.
(5.10)
При отсутствии торцовых днищ в короткой оболочке напряженное состояние можно считать линейным и перемещения вычислять по формуле
.
(5.11)
Сравнение формул (5.10) и (5.11) показывает, что при плоском напряженном состоянии радиальное перемещение оболочки меньше, чем при линейном; для стальной оболочки коэффициент уменьшения
,
т. е. перемещения при плоском состоянии составляют 85% от перемещений, вычисленных в предположении линейного состояния.
-
Коническая оболочка с углом при вершине, нагруженная нормальной к поверхности равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 89,а).
а |
б |
|
Рис. 89
В этом случае главные радиусы кривизны
и из уравнения (5.3) находим
.
Из
уравнения равновесия
,
где Q равнодействующая проекции на ось нормальных давлений на обо-лочку.
Так как при длине образующей а боковая поверхность оболочки
равнодействующая
.
Меридиональное усилие
.
(5.12)
Если в это выражение подставить найденное значение Q, то
.
и
.
4. Выражение для меридионального усилия Nm справедливо также в случае сосредоточенной силы Р, приложенной к вершине А конической оболочки по ее оси (рис. 89,б). В формуле (5.12) равнодействующую Q нужно в этом случае заменить на Р. Так как при этом распределенное давление q равно нулю, из уравнения Лапласа (5.3) следует, что окружное усилие NT и окружное напряжение T равны нулю.
Две
главные площадки оболочки вращения
совпадают с экваториальным и
меридиональным сечениями. Третья главная
площадка нормальна к первым двум и
параллельна срединной поверхности.
При
действии на оболочку внутреннего
нормального давления элемент 1,
выделенный у ее наружной поверхности
(рис. 90), находится в плоском напряженном
состоянии, а у внутренней поверхности
(элемент 2)
в объемном. Третья главная площадка
испытывает главное напряжение
q,
однако меридиональное и экваториальное
напряжения, имеющие, как видно из
уравнения Лапласа, порядок
,
значительно больше (в
раз), чем q.
Поэтому обычно третьим главным
напряжением q
пренебрегают и считают, что материал
оболочки по всей толщине стенки находится
в плоском напряженном состоянии.
Рис. 90