Практическое занятие 4. Вычисление интегралов от функции комплексного переменного с помощью интегральной формулы Коши и вычетов.

Если функция является аналитической в области D, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром с, и на самом контуре, то справедливы интегральные формулы Коши:

, (1)

(2)

Если функция является аналитической на границе с области D и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек то

(3)

Если есть полюс m-го порядка функции , то

(4)

В случае простого полюса при

(5)

(6)

где - полюсы аналитической функции , расположенных над действительной осью,

Вычислить интегралы:

Пример 1.

Решение: Внутри окружности знаменатель дроби обращается в нуль в точке . Для применения формулы (1) перепишем интеграл в следующем виде:

Функция является аналитической в круге . Поэтому

Ответ:

Пример 2. .

Решение: Разложим знаменатель на множители, для чего приравняем его к нулю и найдем корни:

Внутри окружности знаменатель обращается в нуль в точке . Для применения формулы (1) перепишем интеграл в следующем виде:

Здесь и функция является аналитической в круге . Поэтому

.

Ответ: .

Пример 3. .

Решение: Подинтегральная функция является аналитической в области всюду, кроме точки . Поэтому в качестве возьмем функцию .

Полагая в формуле (2) , получим:

.

Ответ: .

Пример 4. .

Решение: В области функция имеет две особые точки: полюс второго порядка и - полюс первого порядка.

По теореме Коши о вычетах:

По формуле (4) найдем

.

По формуле (5)

Окончательно получим:

.

Ответ: .

Пример 5. .

Решение: Введем функцию , которая имеет в верхней полуплоскости полюс третьего порядка , равный i. Следовательно, по формуле 6:

вычислим по формуле (4)

.

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

. Ответ:

. Ответ:

Ответ:

. Ответ:

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ.

Вычислить интегралы.

1.

2.
3. 4.
5.
6. ;
7. ;
8.
9.
10.
11. ;
12.
13.
14. ;
15. ;
16. ;
17.
18. ;
19.
20.
21. ;
22. ;
23.
24.
25.
26.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие. 4

Лекция 1. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ. 5

Лекция 2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. 9

Лекция 3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. 17

Лекция 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. 23

Лекция 6. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. ВЫЧЕТЫ. 32

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1. Комплексные числа и действия над ними. 36

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши – Римана. 48

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3. Контурные и определенные интегралы. 53

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4. Вычисление интегралов от функции комплексного переменного с помощью интегральной формулы Коши и вычетов. 58

ЛИТЕРАТУРА

1. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М.; Наука 1985, 464с.

2. В.Г. Власов. Конспект лекций по высшей математике. М.; Айрис. 1996г. 287с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. II. М. Высш. шк. 2003. 415с.

4. М.П. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М. «Наука». 1981. 303с.

65