Практическое занятие 3. Контурные и определенные интегралы.

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного z сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов:

(1)

Если кривая с задана параметрическими уравнениями и начальная и конечные точки дуги с соответствуют значениям параметра , то

, (2)

где .

Если функция аналитична в односвязной области D, содержащей точки , тот имеет место формула Ньютона – Лейбница

, где (3)

- какая-либо первообразная для функции , т. е. в области D.

Если функции аналитические в односвязной области D, а произвольные точки этой области, то имеет место формула интегрирования по частям:

Интеграл от аналитической функции в односвязной области D не зависит от пути интегрирования, а по замкнутому контуру равен нулю .

Пример 1. Вычислить интеграл где c – отрезок прямой от точки до точки .

Решение: Уравнение данного отрезка

Рис.26

Ответ: -2+i.

Пример 2. Вычислить интеграл , где c – дуга окружности от точки до точки .

Решение: Т. к. , то уравнение окружности можно записать

Ответ: -2.

Пример 3. Вычислить интеграл , где c – отрезок прямой, соединяющий точки

Решение: Уравнение прямой

Параметрические уравнения

Рис. 27

Ответ: .

Пример 4: Вычислить интеграл .

Решение: Т. к. подынтегральная функция аналитична всюду, то применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим:

Ответ: 40,5-53i.

Пример 5. Вычислить интеграл

Функции являются аналитическими всюду. Применим формулу интегрирования по частям:

.

Ответ:

Пример 6: Вычислить интеграл где , c – замкнутый контур.

Решение: Функция аналитическая, следовательно интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

Ответ: 0.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

Вычислить интегралы:

Пример 1. где c – отрезок действительной оси от точки до точки Ответ: 0.

Пример 2. , где c – произвольная линия, соединяющая точки . Ответ: .

Пример 3. . Ответ: .

Пример 4. , где c – часть окружности

Ответ:

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

Вычислить интегралы:

1-3. по линиям, соединяющим точки

1) по прямой

2) по параболе

3) по ломаной где

4. , где с – дуга окружности .

5.

6.

7.

8. , с – прямая, соединяющая точки

9.

10.

11.

12.

13. , с – дуга параболы , соединяющая точки

14. , с – отрезок прямой, соединяющий те же точки, что в (13)

15. , с – отрезок прямой, соединяющий точки

16.

17. .

18. , где Обход против часовой стрелки.

19. , где . Обход против часовой стрелки.

20. , где с – часть окружности .

21-22.

1) с – отрезок прямой от точки 0 до точки .

2) дуга параболы от точки 0 до точки .

23. , где с – отрезок прямой от точки 0 до точки .

24. , где с – отрезок прямой от точки до точки .

25. , где с – отрезок прямой от точки до точки .

26. , где с – отрезок прямой от точки до точки .

27. , где с – отрезок прямой от точки до точки .