Практическое занятие 2. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши – Римана.
1. Если
,
то можно записать
в виде:
, где
- действительная
часть
- мнимая часть
.
2. Некоторые элементарные функции комплексного переменного:
- формула Эйлера
Эта функция является
многозначной. Главным значением
называется то значение, которое получается
при k=0,
оно обозначается
:
.
Пример.
Пример 1.
Для данной функции
,
где
,
найти действительную
и мнимую часть
:
а)
б)
в)
.
Решение:
а)
т. е.
б)
,
т. е.
в)
т. е.
Пример 2.
Для данной функции
,
где
,
найти
и
.
а)
б)
в)
Решение:
а)
Т. к.
для
действительного
,
а
б) Т. к.
,
то
Пример 3.
Найти значение функции
в т.
Решение:
.
Пример 4.
Вычислить значение
в точке
Записать ответ в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
Решение:
Т. к. вычисления
непосредственно в алгебраической форме
довольно трудоемко, запишем
в показательной форме:
отсюда следует, что
Пример 5.
Вычислить:
Решение:
Зная, что
получим
Функция
называется аналитической в т.
,
если она дифференцируема в этой точке.
Теорема Коши –
Римана: Для
того, чтобы функция
была дифференцируема в т. z
н. и д., чтобы
функции
были дифференцируемы в т.
и выполнялось равенство:
Коши – Римана.
Если существует производная , то ее можно записать одним из следующих способов:
Производные
элементарных функций
находятся по известным формулам
дифференцирования:
и т. д.
Если функция
-аналитическая, то
и
являются функциями, гармоническими.
И для каждой из них верно уравнение
Лапласа:
,
,
∆ - оператор Лапласа.
Пример 1: Проверить, будут ли дифференцируемы функции:
а)
б)
в)
Решение:
а)
б)
- функция
аналитическая.
в)
- не
дифференцируема.
Пример 2.
Найти аналитическую функцию
по известной ее мнимой части
при условии, что
Решение:
Имеем
По первому из условий Коши – Римана
должно быть
,
так, что
Отсюда
,
где
- пока неизвестна. Дифференцируя
по y
и используя второе из условий Коши –
Римана, получим
,
где
Итак,
,
и, следовательно,
,
т. е.
Пример 4.
Показать, что функция
является гармонической.
Решение:
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
1) Вычислить все
значения функции
при
1.
|
14.
|
2.
|
15.
|
3.
|
16.
|
4.
|
17.
|
5.
|
18.
|
6.
|
19.
|
7.
|
20.
|
8.
|
21.
|
9.
|
22.
|
10.
|
23.
|
11.
|
24.
|
12.
|
25.
|
13.
|
26.
|
2) Найти аналитическую
функцию
,
зная ее действительную или мнимую части.
1.
|
14.
|
2.
|
15.
|
3.
|
16.
|
4.
|
17.
|
5.
|
18.
|
6.
|
19.
|
7.
|
20.
|
8. |
21.
|
9.
|
22. |
10.
|
23.
|
11.
|
24.
|
12.
|
25.
|
13.
|
26.
|
