Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТФКП.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
5.13 Mб
Скачать

Практическое занятие 2. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши – Римана.

  1. 1. Если , то можно записать в виде:

, где

- действительная часть

- мнимая часть .

2. Некоторые элементарные функции комплексного переменного:

- формула Эйлера

Эта функция является многозначной. Главным значением называется то значение, которое получается при k=0, оно обозначается :

.

Пример.

Пример 1. Для данной функции , где , найти действительную и мнимую часть :

а) б) в) .

Решение: а)

т. е.

б) ,

т. е.

в)

т. е.

Пример 2. Для данной функции , где , найти и .

а) б) в)

Решение: а) Т. к. для действительного , а

б) Т. к. , то

Пример 3. Найти значение функции в т.

Решение:

.

Пример 4. Вычислить значение в точке

Записать ответ в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Решение: Т. к. вычисления непосредственно в алгебраической форме довольно трудоемко, запишем в показательной форме: отсюда следует, что

Пример 5. Вычислить:

Решение: Зная, что получим

  1. Функция называется аналитической в т. , если она дифференцируема в этой точке.

Теорема Коши – Римана: Для того, чтобы функция была дифференцируема в т. z н. и д., чтобы функции были дифференцируемы в т. и выполнялось равенство:

- условия

Коши – Римана.

Если существует производная , то ее можно записать одним из следующих способов:

Производные элементарных функций находятся по известным формулам дифференцирования: и т. д.

Если функция -аналитическая, то и являются функциями, гармоническими. И для каждой из них верно уравнение Лапласа:

, , ∆ - оператор Лапласа.

Пример 1: Проверить, будут ли дифференцируемы функции:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б) - функция аналитическая.

в)

- не дифференцируема.

Пример 2. Найти аналитическую функцию по известной ее мнимой части при условии, что

Решение: Имеем По первому из условий Коши – Римана должно быть , так, что Отсюда , где - пока неизвестна. Дифференцируя по y и используя второе из условий Коши – Римана, получим

, где

Итак, , и, следовательно,

, т. е.

Пример 4. Показать, что функция является гармонической.

Решение:

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

1) Вычислить все значения функции при

1.

14.

2.

15.

3.

16.

4.

17.

5.

18.

6.

19.

7.

20.

8.

21.

9.

22.

10.

23.

11.

24.

12.

25.

13.

26.

2) Найти аналитическую функцию , зная ее действительную или мнимую части.

1.

14.

2.

15.

3.

16.

4.

17.

5.

18.

6.

19.

7.

20.

8.

21.

9.

22.

10.

23.

11.

24.

12.

25.

13.

26.