Практическое занятие 1. Комплексные числа и действия над ними.
Изобразить на комплексной плоскости число Z с помощью вектора.
,
,
,
,
Рис.19.
Найдем модуль и аргумент для этих комплексных чисел и запишем их в тригонометрической и показательной формах.
Для
имеем:
;
Значит,
.
Для имеем:
Значит,
.
Для имеем
Значит,
Для
имеем
Значит,
.
Для имеем
;
Значит,
.
Вычислить
,
если
(учитывая, что
);
;
Найти
Запишем число
в тригонометрической форме:
,
т. е.
.
По формуле Муавра имеем
Решить уравнение
на множестве комплексных чисел.
Перепишем уравнение
в виде
или
.
Число (-1) представим в тригонометрической форме:
.
Далее, по формуле (*) со стр. 8, находим,
Полагая,
получаем:
Найденным корням уравнения соответствуют вершины правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность радиуса r=1 с центром в начале координат.
Рис.20.
5) Изобразить на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих следующим условиям:
а)
По формуле Для нахождения модуля
комплексного числа имеем
,
т. е.
Множество точек,
удовлетворяющих условию
,
т. е.
представляет собой окружность радиуса
r=3
с центром в начале координат.
Рис.21.
б)
.
Точки z
лежат на луче, выходящем из начала
координат под углом
к действительной оси
Рис.22
в)
.
Это неравенство можно переписать в виде:
Рис.23
г)
Это неравенство
можно переписать в виде:
,
оно определяет множество точек,
расположенных выше прямой y=-2.
Рис.24
д)
Первое неравенство
определяет множество точек, расположенных
между окружностями радиусом
с центром в точке
.
Второе неравенство определяет множество точек, расположенных между лучами
.
Вся система определяет множество точек, являющееся пересечением первого и второго множеств.
Рис.25
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
Изобразить на комплексной плоскости числа
Записать их в тригонометрической и показательной формах.
(Ответ:
.)
Вычислить
Если а)
б)
.
(Ответ: а)
б)
)
Найти:
а)
б)
в)
(Ответ: а)
б) 1; в) -1)
Найти корни уравнения:
а)
б)
в)
( Ответ: а)
б)
в)
)
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ.
1). Изобразить на комплексной плоскости число z, найти его модуль и аргумент.
1.
|
21.
|
2.
|
22.
|
3.
|
23.
|
4.
|
24.
|
5.
|
25.
|
6.
|
26.
|
7.
|
27.
|
8.
|
28.
|
9.
|
29. |
10.
|
30.
|
11.
|
31.
|
12. |
32. |
13.
|
33.
|
14.
|
34.
|
15.
|
35.
|
16.
|
36.
|
17.
|
37.
|
18.
|
38.
|
19.
|
39.
|
20.
|
40.
|
2). Комплексное число z записать в показательной и тригонометрической формах:
1.
|
21.
|
2. |
22. |
3.
|
23.
|
4. |
24. |
5.
|
25.
|
6.
|
26.
|
7. |
27. |
8.
|
28.
|
9.
|
29.
|
10. |
30. |
11. |
31. |
12.
|
32.
|
13.
|
33. |
14.
|
34.
|
15. |
35.
|
16. |
36.
|
17.
|
37.
|
18.
|
38.
|
19.
|
39.
|
20. |
40. |
3). Вычислить
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
4). Изобразить на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих следующим условиям
1.
|
13.
|
25.
|
2.
|
14.
|
26.
|
3.
|
15.
|
27.
|
4.
|
16.
|
28.
|
5.
|
17.
|
29.
|
6.
|
18.
|
30.
|
7.
|
19.
|
31.
|
8.
|
20.
|
32.
|
9.
|
21. |
33.
|
10. |
22.
|
34.
|
11. |
23.
|
35.
|
12.
|
24.
|
|
5). Вычислить:
1.
|
18.
|
2.
|
19.
|
3.
|
20.
|
4.
|
21.
|
5.
|
22.
|
6.
|
23.
|
7.
|
24.
|
8.
|
25.
|
9.
|
26.
|
10.
|
27.
|
11.
|
28.
|
12.
|
29.
|
13.
|
30.
|
14.
|
31.
|
15.
|
32.
|
16.
|
33.
|
17.
|
34.
|
|
35.
|
6). Найти все корни уравнения:
1.
|
19.
|
2.
|
20.
|
3.
|
21.
|
4.
|
22.
|
5.
|
23.
|
6.
|
24.
|
7.
|
25.
|
8.
|
26.
|
9.
|
27.
|
10.
|
28.
|
11.
|
29.
|
12.
|
30.
|
13.
|
31.
|
14.
|
32.
|
15.
|
33.
|
16.
|
34.
|
17.
|
35.
|
18.
|
|
