Лекция 2. Понятие функции комплексного переменного.
ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ.
Определение
3.
- окрестностью точки z0
называется
множество точек z
комплексной плоскости таких, что
,
где
- заданное число.
Условились
обозначать
-
- окрестность точки z0.
- окрестность есть
внутренность круга с радиусом
и центром в точке z0.
Действительно, если
,
то
,
т. е.
- это окружность.
Рис.2 ε – окрестность точки z0.
Определение
4.
Множество точек комплексной плоскости,
удовлетворяющих условию
,
называют R-окрестностью,
,
окрестностью бесконечно удаленной
точки.
Бесконечно удаленную
точку z
обозначают
через
,
а комплексную плоскость вместе с точкой
называют расширенной
плоскостью.
Определение
5.
Точка z0
называется внутренней точкой множества
Е,
если
- окрестность точки z0,
что
Рис.3 Внутренние точки множества.
Определение 6. Точка z1 называется граничной точкой множества Е, если в любой окрестности этой точки имеются точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие Е.
Рис.4 Граничные точки множества.
Определение 7. Областью D в комплексной плоскости понимается множество точек Е такое, что:
а) каждая точка этого множества является внутренней;
б) любые две точки этого множества можно соединить ломаной с конечным числом звеньев, целиком лежащих в множестве Е.
Область D
вместе с ее границей L
называется замкнутой областью и
обозначается
.
Пусть
вещественные непрерывные функции
переменной
,
тогда уравнение
(9)
дает параметрическое представление непрерывной кривой L на комплексной плоскости.
Определение
8. Кривая
L
в плоскости (z)
называется гладкой, если определяющие
ее функции
непрерывны вместе со своими производными
во всех точках этой кривой.
Определение 9. Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кусков, называется непрерывной кусочно-гладкой.
Определение 10. Область D называется односвязной, если ее граница состоит из одной непрерывной (связной) линии L, и многосвязной, если из конечного числа линий.
Рис.14 Односвязная область Рис.15 Многосвязная область
С помощью
дополнительных разрезов
многосвязную область можно превратить
в односвязную (рис.7).
Рис.7
Пример 1.
Построить на комплексной плоскости
линию
Р
ешение.
Рис.8
П
ример
2.
Построить на комплексной плоскости
область, заданную условиями:
Решение.
,
т.е.
Рис.9
Область - заштрихованный прямоугольник, область – односвязная.
Определение функции комплексного переменного.
Рассмотрим две
комплексные плоскости (z)
и (w)
соответственно чисел
и
Рис.10
Определение. Величина w называется функцией комплексного переменного z в области D, если задан закон (правило), согласно которому, каждому значению z, взятому из D ставится в соответствие одно или несколько значений w из G.
Обозначается
,
переменная z
называется независимой или аргументом,
w
– зависимая переменная или функция.
Область D называется областью определения функции w, а G – областью изменения функции w.
Если каждому
значению
соответствует только одно значение
,
то функция
,
называется однозначной, а если несколько,
то многозначной.
П
ример.
Найти уравнение линии в (w),
на которую с помощью функции
отобразится линия
.
Р
ешение.
В плоскости (z)
уравнение
или
.
Найдем уравнение биссектрисы
I и II координатных углов в плоскости
переменных u, v (w) на которую отобразится эта
б
иссектриса
с помощью функции
.
Рис.11
Рис.11
или
.
Рис.12
Итак, функция отображает биссектрису I и III координатных углов плоскости (z) в биссектрису II и IV координатных углов плоскости (w).
Предел и непрерывность функции.
Рассмотрим функцию
,
где
,
определенную в окрестности точки
.
Определение.
Число
называется пределом функции
в точке
,
если для любого сколь угодно малого
числа
,
можно указать такое число
,
что для всех точек, удовлетворяющих
неравенству
,
выполняется неравенство
.
Записывается так:
,
это равносильно
Определение.
Функция
называется непрерывной в точке
,
если она определена в окрестности точки
и в самой точке
и
или
Из определений следует, что все теоремы о пределах и непрерывных функциях действительного переменного можно применить и для функции комплексного переменного.
Элементарные функции комплексного переменного.
1.
линейная функция.
2.
,
n
– целое – степенная функция .
3.
,
дробно-линейная функция .
4.
- функция Жуковского.
5.
- показательная функция.
Функция
в отличие от функции
действительного аргумента является
периодической с периодом
.
,
т.е. - период, т.к.
6. Логарифмическая
функция
- натуральный логарифм, рассматривается
как обратная к показательной
.
.
7. Тригонометрические функции.
Используя формулы Эйлера:
Для них верны
формулы тригонометрии,
имеют период
В отличие от
тригонометрических функций действительного
аргумента
,
могут быть >1.
Пример.
8. Обратные тригонометрические функции.
Эти функции многозначны, так как выражаются через логарифмы.
9. Гиперболические функции.
Гиперболические
функции комплексного переменного имеют
мнимый период
для
Связь тригонометрических функций с гиперболическими.
т. е.
Пример.
Записать в алгебраической форме
.
Решение.
