МІНІСТЕРСТВО ОХОРОНИ ЗДОРОВ’Я УКРАЇНИ

ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МЕДИЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені М.І.ПИРОГОВА

Затверджено

на методичній нараді

кафедри медбіофізики

Завідувач кафедри

Професор І.І. Хаїмзон

28. 08. 2012 р.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ

ПРИ ПІДГОТОВЦІ ДО ПРАКТИЧНОГО ЗАНЯТТЯ

Навчальна дисципліна	Медична і біологічна фізика
Модуль №1	Математична обробка медико - біологічних даних
Змістовний модуль №1	Основи теорії ймовірності та математичної статистики
Тема заняття № 1.1	Вступ. Елементи теорії ймовірностей. Теореми додавання та множення ймовірностей.
Курс	1
Факультет	Медичний № 1, 2; стоматологічний
Спеціальність	7.12010001 - лікувальна справа 7.12010002 - педіатрія 7.12010005 - стоматологія 7.10210004 - медична психологія

Вінниця, ВНМУ – 2012

Тема 1.1. Вступ. Елементи теорії ймовірностей. Теореми додавання та множення ймовірностей.

1. Актуальність теми:

Теорія ймовірності є основою математичної статистики, яка в свою чергу слугує статистичній обробці медико - біологічних даних. Основними поняттями математичної статистики є випадкові величини та їх характеристики

(математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, закони розподілу випадкових величин).

1. Навчальні цілі:

Знати:

• Поняття випадкової події.

• Види випадкових подій.

• Класичне та статистичне визначення випадкових подій.

• Теореми додавання та множення випадкових подій.

Вміти:

• Розв'язувати типові задачі на розрахунок ймовірностей випадкрвих подій на основі застосування класичного і статистичного означення ймовірності.

• Застосовувати теореми додавання і множення для розв'язування типових задач.

3. Міждисциплінарна інтеграція

Назви попередніх дисциплін, вивчення яких сприяло набуттю базових знань, вмінь, навичок	Отримані базові знання, вміння, навички
1.Курс алгебри і початків аналізу в обсязі програми для загально-освітньої школи.	Обчислювати ймовірність випадкових подій, класифікувати випадкові події, застосовувати теореми теорії ймовірності для розв'язування задач.

4. Забезпечення вихідного рівня.

№ теста з/п	Контрольне питання	Відповідь
1	Що називається випадковою подією?	Випадковою називають подію, яка при одних і тих самих умовах, достатніх для того, щоб дана подія відбулася може відбутися, а може і не відбутися.
2	Які є види випадкових подій?	Рівноможливі - це такі випадкові події А,В,..,С ймовірності появи яких однакові. Сумісні - це такі випадкові події А,В,..,С сумісна (одночасна) поява, яких при випробуванні можлива. Несумісні - це такі випадкові події А,В,..,С сумісна (одночасна) поява, яких при випробуванні неможлива. Залежні - це такі випадкові події А, В ймовірність однієї з яких (наприклад, А) залежить від того настала чи не настала друга подія (тобто подія В). Незалежні — це такі події А, В ймовірність однієї з яких не зміниться незалежно від того відбудеться чи не відбудеться друга. Протилежні — це такі дві єдино можливі події А та В, поява однієї з яких (наприклад, А) повністю виключає появу іншої ( події В).
3	Сформулювати класичне означення ймовірності ?	Подія А може відбутися m разів з n рівноможливих подій: Р(А) =
4	Сформулювати статистичне означення ймовірності ?	Ймовірність випадкової події Р(А) є границя, до якої прямує відносна частота появи цієї події при нескінченному збільшенні випробувань n:
5	Сформулювати і записати теореми додавання ймовірностей ?	Ймовірність появи однієї з несумісних подій при випробуванні визначається так: Р(А або В) = Р(А)+Р(В). У випадку, коли події А, В сумісні, ймовірність появи однієї з цих подій зменшується на ймовірність їх одночасної появи Р(А і В): Р(А або В) = Р(А)+Р(В) - Р(А і В).
6	Сформулювати і записати теореми множення ймовірностей ?	Нехай події А, В сумісні і незалежні, тоді ймовірність їх сумісної появи визначається за теоремою: Р(А і В) =Р(А)·Р(В) Якщо події А, В сумісні і залежні, тоді ймовірність їх сумісної появи визначають так: Р(А і В) = Р(А)·Р(В/А).

5. Самостійна робота студентів.

5.1. Теоретичні питання до заняття.

1. Роль математичної обробки результатів вимірів у біології та медицині.

2. Що таке теорія ймовірностей? Поняття випадкової події. Ймовірність випадкової події. Види випадкових подій.

3. Класичний і статистичний підхід до визначення ймовірності випадкової події.

4. Теореми додавання і множення випадкових подій.

2. Практичні завдання, які виконуються до заняття(СРС)

1. Вивчити і коротко законспектувати відповіді на питання 1-4.

2. Розглянути приклади розв’язання задач з пункту 5.3.

3. Розв’язати задачі №№ 1, 2, 4, 15 із Додатку 2 [2; с.35-37].

4. Ознайомитися з Додатком 3 [2; с.51-53].

2. Приклади розв´язування задач.

Приклад 1.

В колоді є 36 гральних карт. Яка ймовірність витягти карту бубнової масті () ?

Розв’язання:

Нехай А — подія, яка полягає в тому, що витягнута навманя карта бубнової масті. Події обирати карту заданої масті є рівноможливими і несумісними, тому скористаємось класичним способом визначення ймовірності:

де Р(А) – ймовірність події А,

m – кількість сприятливих проявів події А,

n – загальна кількість усіх можливих подій.

Відповідь: ймовірність витягти карту бубнової масті () становить 0,25 або 25%.

Приклад 2.

Яка ймовірність того, що при киданні 6-гранного грального кубика на верхній грані з'явиться цифра 5?

Розв’язання:

Нехай А — подія, яка полягає в тому, що на верхній грані кубика з'явиться цифра 5. Дані події є рівноможливими і несумісними, тому скористаємось класичним способом визначення ймовірності.

де Р(А) – ймовірність події А,

m – кількість сприятливих проявів події А (так як із цифрою 5 одна грань, то m=1),

n – загальна кількість усіх можливих подій.

Відповідь: ймовірність того, що при киданні 6-гранного грального кубика на верхній грані з'явиться цифра 5, становить 0,1667 або 16,67%.

Приклад 3.

У 3-Б класі сидить 18 дівчаток та 14 хлопчиків. Вчитель хоче викликати одну дитину до дошки. Знайти ймовірність того, що це буде дівчинка.

Розв’язання:

Нехай А — подія, яка полягає в тому, що вчитель викличе до дошки дівчинку.

Події є рівноможливі і несумісні, то використовуємо класичний спосіб визначення ймовірності.

де Р(А) – ймовірність події А,

m – кількість можливих сприятливих проявів події А,

n – загальна кількість усіх можливих подій.

Отже, m=18 (дівчаток),

n=18+14=32 (учнів у класі);

Відповідь: ймовірність того, що вчитель викличе до дошки дівчинку, становить 0,5625 або 56,25%.

Приклад 4.

Серед 1000 жінок 32 коротко підстрижені, 623 мають середню довжину волосся, а решта – носять довге волосся. Серед 2000 чоловіків довге волосся має 25 осіб, 107 – середню довжину, решта – носить коротку стрижку. Яка ймовірність того, що:

а) перша зустрічна людина буде мати коротку стрижку?

б) перша зустрічна жінка буде мати не коротку стрижку?

Розв’язання:

а) Нехай А — подія, яка полягає в тому, що перша зустрічна людина буде мати коротку стрижку. Так як випробування проводилось, то використовуємо статистичний спосіб визначення ймовірності:

де Р(А) – ймовірність події А,

m – кількість сприятливих проявів події А,

n – загальна кількість проведених випробувань.

m – кількість коротко стрижених людей. m невідоме. Щоб визначити це число, треба знайти суму коротко стрижених жінок і чоловіків.

Спочатку знайдемо кількість чоловіків із короткою стрижкою:

Х=2000-(25+107)=1868.

Тепер знайдемо m:

m=1868+32=1900

n=1000+2000=3000 (всього людей).

Тоді:

Відповідь: ймовірність зустріти коротко стрижену людину становить 0,6333 або 63,33%.

б) Нехай В — подія, яка полягає в тому, що перша зустрічна жінка буде мати не коротку стрижку. Для розв'язку даної задачі теж застосовуємо статистичний спосіб визначення ймовірності:

де Р(В) – ймовірність події В,

m – кількість сприятливих проявів події В,

n – загальна кількість проведених випробувань.

Не коротка стрижка – це довга або середня довжина волосся. Знайдемо, скільки жінок має довге волосся:

Х=1000-(32+623)=345.

Тепер дізнаємось, скільки жінок має середнє і довге волосся:

m=623+345=968

n=1000.

Тоді:

Цю ж задачу можна розв’язати іншим способом. Для цього треба врахувати, що повна ймовірність дорівнює 1. Тоді:

Р(В)=1-Р(С),

де Р(С) – ймовірність коротко стрижених жінок.

Знайдемо Р(С) за статистичним способом.

Тепер Р(В)=1-Р(С)=1-0,032=0,968.

Відповідь: ймовірність зустріти жінку із не короткою стрижкою становить 0,968 або 96,8%.

Приклад 5.

За статистичними даними групу крові А мають 36,9% всіх європейців, групу

В - 23,5%, групу АВ - 0,6%, групу О -39%. Знайти ймовірність того, що у довільно взятого донора-європейця група крові А або В.

Розв’язання:

Позначимо випадкові події: А - у довільно взятого донора-європейця група крові А, В - група крові В. Ймовірності цих подій відповідно:

Р(А) = 0,369, Р(В) = 0,235. Використовуючи теорему додавання ймовірностей для несумісних подій, одержимо:

Р(А або В) = Р(А) + Р(В) = 0,369+0,235 = 0,604.

Відповідь:ймовірність того, що у довільно взятого донора-європейця група крові А або В становить 0,604 або 60,4%.

Приклад 6.

В університеті N 4 із 10 студентів - медиків в майбутньому будуть стоматологами, 2 із 8 студентів - медиків будуть лікувати дітей. Яка ймовірність того, що студент університету N в майбутньому буде працювати стоматологом або лікувати дітей?

Розв’язання:

Нехай А подія, яка полягає в тому, що студент університету N в майбутньому буде працювати стоматологом. Ймовірність появи цієї події:

Р(А) = .

Нехай В подія, яка полягає в тому, що студент цього ж університету N в майбутньому буде лікувати дітей. Ймовірність появи цієї події:

Р(В) = .

Події А та В сумісні, отже використовуємо теорему додавання ймовірностей для сумісних подій:

Р(А або В) = Р(А) + Р(В) - Р(А і В) = + - . = = 0,55.

Відповідь: ймовірність того, що студент університету N в майбутньому буде працювати стоматологом або лікувати дітей становить 0,55 або 55%.

Приклад 7.

Дослід полягає у підкиданні двох монет. Знайти ймовірність того, що на двох монетах з'явиться орел.

Розв’язання:

Позначимо випадкові події: А - випадання орла на першій монеті, В - випадання орла на другій монеті. Ймовірності цих подій відповідно:

Р(А) = ; Р(В) = .

Оскільки події А та В незалежні, то використовуємо теорему множення ймовірностей незалежних подій:

Р(А і В) = Р(А)·Р(В) = · = = 0,25.

Відповідь: ймовірність того, що на двох монетах з'явиться орел становить 0,25 або 25%.

Приклад 8.

Студент підготував до іспиту 30 питань із 40. Яка ймовірність того, що студент відповість на два заданих йому питання?

Розв’язання:

Позначимо випадкові події: А - успішна відповідь на перше питання, В - на друге, С — успішна відповідь на два питання. Відповідь на два питання означає сумісне здійснення події А, В тобто:

С = А і В.

Але події А, В є залежними, оскільки отримання запитання , на яке студент знає відповідь, змінює ймовірність того, що і наступне питання буде таким, яке він знає. Отже, за формулою множення ймовірностей:

Р(С) = Р(А)·Р(В/А).

Вважаючи вибір кожного питання рівноможливим, за класичним означенням ймовірності знаходимо:

Р(А) = .

Після вибору першого питання, на яке студент знає відповідь, залишається всього 40 - 1 = 39 питань, а тих, на які студент знає відповідь, 30 -1 = 29. Отже, ймовірність, що друге питання буде таким, яке студент знає, дорівнює:

Р(В/А) = .

Таким чином, ймовірність того, що студент відповість на два питання, становить:

Р(С) = Р(А)·Р(В/А) = = 0,56.

Відповідь:ймовірність того, що студент відповість на два заданих йому питання становить 0,56 або 56%.