Вопрос 16: понятие и виды средних величин

Наиболее распространённой формой статистических показателей является средняя величина, представляющая собой обобщённую количественную характеристику признака в статистической совокупности. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

В зависимости от характера осредняемых величин используют соответствующие средние величины: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю геометрическую, среднюю квадратическую, среднюю хронологическую. Средняя величина исчислена как простая и взвешенная.

Средняя арифметическая величина исчисляется в том случае, когда общий объём изучаемого признака может быть получен суммирования его индивидуальных значений. Если индивидуальные значения не повторяются, то исчисляют среднюю арифметическую простую величину. Если индивидуальные значения признака часто повторяются, то с помощью группировок образуют ряд распределения и исчисляют среднюю арифметическую взвешенную величину. Во всех случаях средняя арифметическая представляет собой частное от деления общего объёма данного признака в изучаемом явлении на число единиц в совокупности. Средняя арифметическая простая:

.

Средняя арифметическая взвешенная: .

Средней гармонической следует пользоваться тогда, когда в качестве весов применяется не единица совокупности – носитель признака, а произведения этих единиц на значения признака, т. е. По существу, это преобразованная средняя арифметическая, применяемая тогда, когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объёмам признака.

.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, т. е. характеризуют средний коэффициент роста:

или .

Средняя хронологическая рассчитывается в том случае, если имеются данные на определённую дату (обычно на начало месяца, квартала, года). Интервалы между данными должны быть ровными.

Разница между средними тем значительнее, чем больше вариация (колеблемость) осредняемых величин. Существует правило мажорантности:

Это правило даёт возможность контролировать расчёты средних величин.

Вопрос 17: структурные средние, их виды, назначение и способы расчёта

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода – это значение случайной величины, встречающейся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду, т. е. вариант, имеющий наибольшую частоту. В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- соответственно частоты модального, предмодального и послемодального интервала.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т. п.

Медиана – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные по числу единиц части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

В дискретных вариационных рядах нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы. Номер медианы для нечётного объёма вычисляется по формуле:

№

В случае четного объёма ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медиана оказывается в каком-то из интервалов признака. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопительная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда.

,

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- полусумма частот;

- накопительная частота до начала медианного интервала;

- частота медианного интервала.

Структурные средние являются конкретными характеристиками. Мода и медиана отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.