Лабораторна робота №8

Тема: Ітераційні циклічні програми. Наближене обчислення рядів

Мета: Формування умінь складання прогам розв’язку рівнянь методом наближених обчислень (метод ітерації, метод Ньютона) алгоритмічною мовою високого рівня GW-Basiс

1 Теоретичні відомості

Особливістю ітераційних циклів є те, що наперед невідома кількість ітерацій, які потрібно виконати. Обчислення в циклі припиняється при досягненні заданої точності. Ітераційні цикли будуються за допомогою операторів умовного і безумовного переходів,а також, використовуючи оператор циклу з післяумовою.

Розв’язуючи рівняння методом ітерації, в першу чергу потрібно перетворити рівняння так, щоб в його лівій частині залишилась тільки одна змінна в першій степені. Для заданого рівняння x=0.5-xlnx рекурентна формула знаходження наближення корення має вигляд x_i+1=0.5-x_ilnx_i. Початкове значення кореня вибирається в межах заданого відрізку, наприклад, х₀=0.5.

При розв’язуванні рівняння f(x)=0 методом Ньютона треба користуватись рекурентною формулою знаходження наближення корення x_i+1=x_i-f(x_i)/f’(x_i). Початкове значення вибирається аналогічно до методу простої ітерації.

Умова закінчення ітераційного процесу формується із необхідної точності обчислень. Модуль різниці останнього та попереднього по відношенню до нього наближень кореня повинен бути меншим заданої точності. Розв’язком рівняння з заданою точністю є останнє обчислене наближення.

2 Хід роботи

2.1 Постановка задачі

Знайти корінь рівняння xlnx+x-0.5=0 на відрізку [0;1] з точністю ε=10^-4, користуючись методом ітерацій.

Запишемо рівняння у вигляді x_i+1=0.5-x_ilnx_i і задамо початкове значення кореня х₀=0.5.

2.2 Графічний алгоритм показаний на рис.8.1

2.3 Ідентифікація змінних

Змінна	xi	xi+1	t	ε	n
Ідентифікатор	X	Y	T	E	N

Рисунок 8.1 – Графічний алгоритм

2.4 Програма мовою GW- Basic та результати обчислень

10 REM ІТЕРАЦІЙНІ ЦИКЛИ

20 LET E=1E-4

30 LET X=2.5E-1

40 LET N=0

50 LET Y=5E-1-X*LOG(X)

60 LET T=ABS(X-Y)

70 LET X=Y

80 LET N=N+1

90 IF T<E THEN 50

100 PRINT “КОРІНЬ=“;Y

110 PRINT”КІЛЬКІСТЬ ІТЕРАЦІЙ=”;N

120 END

КОРІНЬ=7.29874E-1

КІЛЬКІСТЬ ІТЕРАЦІЙ=23

3 Контрольні запитання

1. Яка відмінність ітераційного циклу від циклу з регулярною зміною аргумента?

2. Як одержати ітераційну формулу для застосування методу ітерацій?

3. Яка умова закінчення ітераційних обчислень?

4. Як отримати кількість виконаних ітерацій?

5. Який оператор керує виходом з циклу?

6. Побудуйте програму, використавши структуру циклу з післяумовою чи з передумовою.

Варіанти завдань наведені в таблиці 8.1 .

Для наведених в таблиці 8.1 рівнянь необхідно:

- скласти графічний алгоритм для визначення кореня рівняння із заданою похибкою вказаним методом. В алгоритмі передбачити лічильник кількості ітерацій;

- скласти програму для ЕОМ;

- розв’язати рівняння в діалоговому режимі, користуючись розробленою програмою;

- провести аналіз одержаного результату.

Таблиця 8.1 –Варіанти завдань

№ ва-ріанту	Рівняння	Інтервал ізоляції кореня	Похибка обчислення	Метод роз- в`язування
1	4x3-5x2+3x=0	[1;2]	0,0001	ітерацій
2	х3-x-1=0	[1;2]	0,001	Ньютона
3	x3-3x2+4x-9=0	[2;3]	0,001	ітерацій
4	x3+3x-1=0	[0;1]	0,001	Ньютона
5	x3-ex-5.5=0	[2,6;3]	0,0001	ітерацій
6	х3-x+1=0	[-2;-1]	0,001	Ньютона
7	tg3(x)-tg(x)-1=0	[0,8;1]	0,001	ітерацій
8	ex-1/x-1=0	[0,5;1]	0,0001	Ньютона
9	2x3-7x2+3x-10=0	[3;4]	0,001	ітерацій
10	x+ln(x)-2=0	[2;1]	0,0001	Ньютона
11	x3+3x+1=0	[0;-1]	0,0001	ітерацій
12	2x3-5x2+5x-12=0	[2;3]	0,001	Ньютона
13	xln(x)-2=0	[2;3]	0,001	ітерацій
14	5x3-6x2+x-2=0	[1;2]	0,001	Ньютона
15	x3- -8.5=0	[2;3]	0,0001	ітерацій
16	ex-ln(x)-20=0	[3;3,2]	0,0001	Ньютона
17	3x3-4x2+2x-3=0	[1;2]	0,0001	ітерацій
18	x3+2x-11=0	[1;2]	0,001	Ньютона
19	ex-2-ln(x+2)=0	[2;3]	0,001	ітерацій
20	4x3-5x2+2x-3=0	[1;2]	0,001	Ньютона
21	x3-2x-5=0	[2;3]	0,0001	ітерацій
22	5x2+7x-15=0	[0;0,2]	0,0001	Ньютона
23	ex-1/x-1=0	[2;3]	0,001	ітерацій
24	2ex-2-lg(x+12)=0	[0,5;1]	0,0001	Ньютона