Угол между прямой и плоскостью

.

Прямая и плоскость будут перпендикулярны, если векторы и - коллинеарные , т.е. если выполняется соотношение .

Прямая и плоскость будут параллельны, если векторы и - перпендикулярны, т.е. если выполняется равенство .

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

.

Примеры

1. Найти плоскость, проходящую через точку , параллельно плоскости .

Для данной плоскости вектор нормали . Используя условие параллельности двух плоскостей, напишем уравнение искомой плоскости:

, отсюда .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Воспользуемся уравнением , получим определитель

, затем – общее уравнение плоскости

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

Данная прямая проходит через точку с направляющим вектором . Составим вектор . Вектор нормали искомой плоскости должен быть перпендикулярен векторам и , т.е. . Тогда, используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали, получим , отсюда получаем общее уравнение плоскости .

4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям .

Векторы нормали заданных плоскостей соответственно равны . Вектор нормали искомой плоскости должен быть перпендикулярен этим двум векторам, т.е.

. Тогда используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали получим , отсюда получаем общее уравнение плоскости

5. Найти угол между плоскостями

Векторы нормали заданных плоскостей соответственно равны . Тогда используя формулу , получим , т.е. плоскости перпендикулярны.

6. Доказать, что прямые , пересекаются.

Используем условие принадлежности двух прямых плоскости

, получим определитель 0. Следовательно, эти прямые пересекаются.

7. Найти точку пересечения прямой с плоскостью

Запишем параметрическое уравнение прямой .

Подставим полученные в уравнение плоскости , получим

, тогда . Подставляя полученное значение в параметрическое уравнение прямой, найдем координаты пересечения прямой и плоскости .

6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Из условия направляющий вектор прямой будет вектором нормали для искомой плоскости, т.е. . Напишем уравнение плоскости, проходящею через заданную точку, с заданным вектором нормали

. Отсюда получим общее уравнение плоскости .

9. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

Из условия вектор нормали плоскости будет направляющим вектором для искомой прямой, т.е. . Напишем уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с заданным направляющим вектором, т.е. каноническое уравнение прямой .

10. Найти точку, симметричную точке относительно плоскости .

Эта задача решается в три этапа:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости , это будет .

Находим точку пересечения прямой и плоскости . Это будет точка .

Теперь решаем задачу о нахождении координат точки симметричной данной плоскости - прямой. Координаты этой точки, которую обозначим , вычисляются по формулам . Отсюда получим искомую точку .

11. Найти расстояние от точки до прямой .

Эта задача решается в три этапа:

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Вычислим проекцию точки на плоскость, для чего найдем пересечение прямой и плоскости . Это будет точка .

И наконец находим расстояние от точки до прямой .