МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждена на заседании кафедры ИСС 26 апреля 2011 г.

Методические указания

к практическим занятиям

по курсу «Высшая математика»

Раздел «Аналитическая геометрия»

для бакалавров дневной формы обучения

института ПГС

Ростов-на-Дону

2011

УДК 512.8 (08)

Методические указания к практическим занятиям по курсу «Высшая математика». Раздел «Аналитическая геометрия». – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 21 c.

Изложен теоретический и практический материал по линейной, векторной алгебре и элементам аналитической геометрии.

Предназначены для бакалавров дневной формы обучения специальностей института ПГС.

Электронная версия находится в библиотеке, ауд. 224.

УДК 512.8 (08)

Составители:

канд. физ.-мат. наук, доц. А.Е. Богданов

канд. тех. наук, доц. Г.Я. Корабельников

ассист. Н.В. Неумержицкая.

Рецензент:

д-р физ.-мат. наук, проф. А.А. Ляпин

Редактор Н.Е. Гладких

Доп. план 2011 г., поз. 18

Подписано в печать 18.07.11. Формат 60х84/16.

Бумага белая. Ризограф. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 20 экз. Заказ 225

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов - на - Дону, ул. Социалистическая, 162

 РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2011

Элементы аналитической геометрии Прямая линия на плоскости Уравнение прямой с угловым коэффициентом

, , где - угол наклона прямой к оси ОХ .

Если 1) , то прямая проходит через начало координат ;

2) , то прямая совпадает с осью ОХ .

Замечание. Уравнение описывает все прямые на плоскости за исключением прямых вида : .

Угол между двумя прямыми и .

. Угол между прямыми (рис. 1).

, Y

. Х

Рис. 1

Из полученной формулы следует:

1. Условие параллельности двух прямых; .

2. Условие перпендикулярности двух прямых; .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом

.

Уравнение пучка прямых

Рассмотрим уравнение .

Изменяя его угловой коэффициент, получим множество прямых, проходящих через точку , которое назовем пучком прямых, а рассматриваемое уравнение – уравнением пучка прямых.

Уравнение прямой , проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой в отрезках на осях

(рис. 2).

Рис. 2

Примеры

1. Найти угол между двумя прямыми

Из условия следует, что , тогда

, .

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А

параллельно прямой .

Угловой коэффициент данной прямой , а из условия параллельности угловой коэффициент искомой прямой .Следовательно, уравнение параллельной прямой имеет вид Отсюда .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А

перпендикулярно прямой .

Угловой коэффициент данной прямой , а из условия перпендикулярности угловой коэффициент искомой прямой .

Следовательно, уравнение перпендикулярной прямой имеет вид

Отсюда .

4. Дана точка М( 1 ; 1 ). Провести через эту точку прямую под углом к прямой .

Воспользуемся уравнением пучка прямых , проходящих через точку (1,1) ,

. Теперь найдем угловой коэффициент искомой прямой, воспользовавшись формулой :

5. Дан треугольник с вершинами Найти уравнение высоты .

Найдем уравнение стороны как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и .

, отсюда .

Прямые и перпендикулярны, следовательно, угловой коэффициент прямой равен .

Теперь запишем уравнение прямой как уравнение прямой, проходящей через точку , с угловым коэффициентом

, отсюда

6. Дан треугольник с вершинами Найти уравнение медианы .

Точка D лежит на середине отрезка ВС, тогда ее координаты равны полусумме, соответствующих координат, точек В и С, т.е. .

Напишем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B,

.Отсюда получаем искомое уравнение .

6. Прямая отсекает на оси ОХ отрезок длинной 5, а на оси ОY отрезок длинной 4.

Найти уравнение этой прямой.

Используя уравнение в отрезках на осях , получим . Отсюда получаем

.

Общее уравнение прямой

Всякое уравнение первого порядка вида

есть уравнение прямой, и, наоборот, любую прямую линию можно задать уравнением данного вида.

Уравнение называется общим уравнением прямой. Если , то из общего уравнения можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом , т.е. .

Пусть заданы две прямые и .

Угол между этими прямыми можно определить из формулы : .

Отсюда следует , что равенство будет условием параллельности, а равенство будет условием перпендикулярности двух прямых .

Примеры

1. Определить точки пересечения прямой с координатными осями.

Полагаем , подставляя в уравнение прямой, получаем .

Полагаем , подставляя в уравнение прямой, получаем .

Точка пересечения прямой с координатными осями имеет координаты .

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Перейдем от общего уравнения к уравнению прямой с угловым коэффициентом

. Угловой коэффициент этой прямой . Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом, и получим . Отсюда .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Перейдем от общего уравнения к уравнению прямой с угловым коэффициентом

. Угловой коэффициент этой прямой . Из условия перпендикулярности следует, что угловой коэффициент искомой прямой .

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом, и получим . Отсюда .

4. Найти угол между двумя прямыми и .

Угол между этими прямыми можно определить из формулы : .

Здесь , тогда , отсюда .

5 . Дан ромб АВСD уравнения двух сторон ромба ВС и AD, а также диагонали BD (рис. 3). Найти уравнения диагонали АС.

Найдем координаты точки В:

Рис. 3

Найдем координаты точки D:

; .

Координаты центра - (B+D)/2: .

Найдем уравнение диагонали АС:

6. Найти расстояние от точки до прямой, проходящей через точки и .

Напишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки . Отсюда получаем . Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно полученной прямой. Из условия перпендикулярности получим ее угловой коэффициент . Тогда уравнение перпендикуляра имеет вид . Отсюда . Найдем проекцию точки на прямую . Для чего решим систему уравнений и получим , т.е. проекция точки , которую обозначим , имеет координаты . Найдем расстояние , что и будет искомым расстоянием.

7.  Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

Угловой коэффициент заданной прямой , тогда угловой коэффициент перпендикуляра к ней Теперь можно написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно прямой , или . Найдем проекцию точки , которую обозначим , на прямую . Для чего решим систему уравнений и получим координаты точки ,

Обозначим точку симметричную точке относительно прямой . Ее координаты найдем из соотношений . Получим , это и будут координаты симметричной точки.