1. Алгоритмы перевода чисел

 

1.1 Алгоритм перевода десятичного числа в систему счисления с основанием q и обратно

    

Для перевода смешанного числа следует переводить его целую и дробную части отдельно:

1.     Для перевода целой части (или простого целого) числа необходимо разделить его на основание системы счисления q и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, записанные в обратной последовательности, образуют целую часть числа с основанием q.

2.     Для перевода дробной части числа (или числа, у которого «0» целых) необходимо умножить ее на основание q. Затем, отбрасывая у результата целую часть, продолжать процесс умножения до тех пор, пока дробная часть произведения не окажется равной нулю или не будет достигнута нужная точность дроби. Целые части произведений, записанные после запятой в прямой последовательности (начиная с первого),  образуют дробную часть числа в системе счисления с основанием q.

 

Рассмотрим перевод смешанного числа из десятичной в двоичную систему счисления на примере числа 46,625.

1.      Переводим целую часть числа:

                Остаток

46:2=23         0

23:2=11         1

11:2=5          1

  5:2=2          1

  2:2=1          0

  1:2=0          1

Запишем остатки, начиная с последнего -  101110, т.е. 46₁₀=101110₂

 

2. Переводим дробную часть числа:

0,625  2=1,250

0,250  2=0,500

0,500  2=1,000

Запишем целые части произведений, начиная с первого – 0,101, т.е. 0,625₁₀ = 0,101₂

Ответ: 46,625₁₀ = 101110,101₂

 

Для того чтобы выполнить обратное преобразование, необходимо число в системе счисления с основанием q записать в развернутом виде и выполнить необходимые вычисления. 

Рассмотрим перевод двоичного числа 101110,101₂ в десятичное число. Для этого запишем это двоичное число в развернутом виде, используя формулу:

А_q=a_n-1 • q^n-1 + a_n-2 • q^n-2 + …+ a₀ • q⁰ +a_-1 • q^-1 + a_-2 • q^-2 + …+ a_-m • q^-m

и выполним необходимые вычисления.

Основание системы: q=2, число разрядов целой части числа: n=6,  число разрядов дробной  части числа: m=3, цифры двоичной системы счисления а представлены нулем или единицей.

101110,101₂=12⁵+02⁴+12³+12²+12¹+02⁰+12^-1+02^-2+12^-3 =32+0+8+4+2+0+1/2+0+1/8=46,625₁₀

  Рассмотрим перевод шестнадцатеричного числа 9D,1₁₆ в десятичное:

 

9D,1₁₆=916¹+1316⁰+116^-1=144+13+1/16=157,0625₁₀

 

1.2. Алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2n

 

Для того чтобы записать смешанное двоичное число в системе счисления с основание q=2ⁿ, нужно:

 

1.      Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную – слева направо на группы по n цифр в каждой. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов.

2.  Рассмотреть каждую группу как n-разрядной двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

 

Рассмотрим перевод смешанного двоичного числа  111100101,0111₂ в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем целую и дробную части двоичного числа на триады и над каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

 

 

 

 

7    4     5 ,    3     4 111 100 101, 011 100

 Ответ: 111100101,0111₂ = 745,34₈