Кодирование числовой информации: позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичная система счисления

 

1. Алгоритмы перевода чисел

1.1. Перевод десятичного числа в систему счисления с основанием q и обратно

       1.2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2ⁿ

       1.3. Перевода чисел из  систем счисления с основанием 2ⁿ в двоичную систему

 

2. Арифметические операции в позиционных системах счисления

          2.1. Арифметические операции в двоичной системе счисления

        2.2. Арифметические операции в восьмеричной системе счисления

 

3. Компьютерное представление чисел

          3.1. Представление целых чисел в формате с фиксированной запятой

        3.2. Представление вещественных  чисел в формате  с плавающей запятой

          

Рассмотрим, как кодируется числовая информация. С числами связано важное понятие  системы счисления. Система счисления – способ наименования и изображения чисел с помощью знаков (символов), имеющих определенные количественные значения. Все системы счисления делятся на две группы:позиционные и непозиционные системы счисления. Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места  (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является римская. В качестве цифр этой системе счисления используется семь знаков:I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ (30) цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60. Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит и основание. Десятичная система счисления имеет алфавит, который состоит из десяти всем известных арабских цифр от 0 до 9 и основание, равное 10, восьмеричная – восемь цифр от 0 до 7 и основание 8, шестнадцатеричная – десять цифр от 0 до 9 и шесть первых заглавных букв латинского алфавита A,B,C,D,E,F.

Примеры чисел, представленных в позиционных системах счисления: 975,48₁₀, 34₈, 41D₁₆, 10110_2.  Позиционный характер этих систем легко понять на примере развернутой формы  записи одного из чисел:

975,48₁₀=9х10²+7х10¹+5+10⁰+4х10^-1+8х10^-2

 

Количество различных знаков, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления.

В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием q будет иметь вид (формула 1):

А_q=a_n-1 • q^n-1 + a_n-2 • q^n-2 + …+ a₀ • q⁰ +a_-1 • q^-1 + a_-2 • q^-2 + …+ a_-m • q^-m

 

Здесь  Аq – само число, q – основание системы счисления, а – цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа.

Существуют алгоритмы перевода чисел из одних систем счисления в другие.