Примеры решения задач

Пример 1. Определите потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения атома водорода.

Решение.

Потенциалом ионизации U_i называют ту наименьшую разность потенциалов, которую должен пройти в ускоряющем поле электрон, чтобы при столкновении с данным невозбужденным атомом ионизировать его. Работа по удалению электрона из атома А_i равна работе сил электрического поля, ускоряющего электрон, eU_i, поэтому А_i=eU_i.

Учитывая квантовый характер поглощения энергии атомом, можно сказать, что работа ионизации А_i равна кванту энергии hv, поглощенному атомом водорода при переходе электрона с первой боровской орбиты на бесконечно удаленную орбиту. Тогда, применив сериальную формулу Бальмера и положив в ней n₁ = 1; n₂ = ∞, получим:

.

Следовательно

;

.

Первый потенциал возбуждения U₁ есть та наименьшая разность потенциалов, которую должен пройти в ускоряющем поле электрон, чтобы при столкновении с невозбужденным атомом перевести его в первое возбужденное состояние. Для атома водорода это соответствует переходу электрона с первой боровской орбиты на вторую. Приравняв работу сил ускоряющего электрического поля eU₁ кванту энергии hν, поглощенному атомом при его переходе в первое возбужденное состояние, получим:

,

где n₁=1, n₂=2. Откуда:

.

Производим вычисления:

.

Ответ: U_i = 13,6 В; U₁ = 10,2 В.

Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Определите длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U₁ = 51 В; 2) U₂ = 510 кВ.

Дано:	Решение:
m0 = 9,110-31 кг e = 1,610-19 Кл U1 = 51 B U2 = 510 кВ = 51104 В	Длина волны де Бройля для частицы определяется формулой , (1) где р – импульс частицы.
λ1-? λ2-?

Импульс частицы связан с ее кинетической энергией Т соотношением:

1) в нерелятивистском (классическом) случае (когда кинетическая энергия частицы Т много меньше ее энергии покоя Е₀ = m₀с²):

, (2)

где m₀ – масса покоя частицы;

2) в релятивистском случае (когда кинетическая энергия Т сравнима с энергией покоя Е₀ частицы):

, (3)

где с – скорость света в вакууме.

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U₁ = 51 В и U₂ =510 кВ, с энергией покоя электрона Е₀ = m₀с² = 0,51 МэВ и в зависимости от этого решим, какую из формул (2) или (3) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U₁ равна T = еU.

В первом случае

T₁=еU₁ = 1,610^-19 Кл  51 В = 81,610^-19 Дж =

= 51 эВ = 0,5110^-4 МэВ,

что много меньше энергии покоя электрона Е₀ = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применять формулу (2). Тогда:

.

Во втором случае кинетическая энергия

T₂ = еU₂ = 5110⁴ эВ = 0,51 МэВ,

т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (3). Тогда получим:

;

Так как Т₂ = Е₀ = m₀c², то получим:

;

Произведем вычисления:

.

Ответ: λ₁ = 172 пм; λ₂ = 1,4 пм.

Пример 3. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, показать, что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус ядра равным R_я = 10^-13 см.

Дано:	Решение:
Rя = 10-13 см = 10-15 м ħ = 1,0510-34 Джс	Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

Δх·Δр_х ≥ ћ,

где Δх – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона);

Δр_х – неопределенность импульса электрона;

ћ – постоянная Планка.

Если неопределенность координаты принять равной радиусу ядра, т.е. Δх = R_я, то неопределенность импульса электрона выразим следующим образом:

.

Так как Δр_х=mΔV_х, то и .

Вычислим неопределенность скорости электрона:

.

Сравнивая полученное значение со скоростью света в вакууме с = 310⁸ м/с, видим, что , а это невозможно. Следовательно, ядра не могут содержать электронов.

Пример 4. Электрон находится в бесконечно глубоком, прямоугольном, потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0<х<l) плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы? Вычислить значение плотности вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком.

Дано:	Решение:
0<х<l	Вероятность обнаружить частицу в интервале х1<х<х2 определяется выражением: ,
х-? -?

где ψ_n(х) – нормированная собственная ψ-функция, отвечающая данному состоянию. Нормированная собственная ψ-функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид:

.

Возбужденным состоянием (n₁=2) и (n₂=3) отвечают собственные функции:

и .

По условию задачи , тогда получим:

, или

.

.

Используя соотношения:

,

,

получим:

;

. (*)

Так как , то выражение (*) примет вид:

.

Решим полученное уравнение:

1) , или , откуда , а , где n=0, 1, 2, 3,…

Тогда ; ; ; .

2) , или , откуда , а – это значение не удовлетворяет условию задачи (0<х<l).

Следовательно, ; ; ; .

Вычислим значение плотности вероятности в этих точках:

.

Так как , то вычисление сделаем только для состояния n=2 (электрон находится на втором энергетическом уровне):

Для :

;

: ;

: ;

: .

Итак, для точек х₁ и х₄: ;

Для точек х₂ и х₃: .

Построим график (рисунок 54).

Пример 5. Определите начальную активность А₀ радиоактивного препарата магния ²⁷Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6 ч. Период полураспада Т_1/2 магния считать известным.

Дано:	Решение:
27Mg m = 0,2 мкг = 210-10 кг М = 2710-3 кг/моль t = 6 ч = 63,6103 с Т1/2 = 10 мин = 600 с	Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:
А0-? А-?

.

Знак «минус» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Воспользуемся законом радиоактивного распада

N = N₀е^-λt.

Тогда: .

Начальную активность А₀ препарата получим при t = 0: А₀ = λN₀, где постоянная радиоактивного распада . Число N₀ радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе массой m, равно: , где М – молярная масса изотопа. N_А = 6,0210²³ моль^-1 – постоянная Авогадро.

Следовательно, ;

, или .

Произведем вычисления:

.

.

Ответ: А₀ = 5,15 ТБк; А = 81,5 Бк.

Пример 6. Вычислите дефект массы и энергию связи ядра .

Решение.

Дефект массы ядра Δm есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, то есть:

, (1)

где Z – атомный номер изотопа (число протонов в ядре);

А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро);

m

Рисунок 54

_р, m_n и m_я – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса m_а нейтрального атома. Масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: m_а = m_я + Zm_е, откуда m_я = m_а – Zm_е. Тогда формула (1) примет вид:

.

Замечая, что m_p + m_e = (масса атома водорода), окончательно получим:

.

Подставив в это выражение числовые значения масс в а.е.м. (см. табл. 15 и 17 Приложения), получим:

а.е.м

Для вычисления энергии связи ядра воспользуемся формулой

Е_св = 931 Δm (МэВ):

Е_св = 9310,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

Ответ: Δm = 0,04216 а.е.м.; Е_св = 39,2 МэВ.

Пример 7. При соударении α-частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода . Определите порядковый номер и массовое число второго ядра, запишите символически ядерную реакцию и определите ее энергетический эффект.

Решение.

Обозначим неизвестное ядро символом . Так как α-частица представляет собой ядро гелия , запись реакции имеет вид:

.

Применив закон сохранения заряда, получим уравнение: 2+5=1+Z, откуда Z=6. Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение: 4+10=1+А, откуда А=13. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода . Теперь можем записать ядерную реакцию в окончательном виде:

.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле:

Q = 931[(m_He + m_B) – (m_H + m_C)] МэВ.

Заменяя массы исходных ядер и массы ядер продуктов реакции массами нейтральных атомов (см. табл.15 Приложения) и подставив их в расчетную формулу, получим:

Q = 931[4,00260+10,01294) – (1,00783+13,00335)] МэВ = 4,06 МэВ.

Ответ: Q = 4,06 МэВ.

Пример 8. Определить энергию реакции ¹⁰В(n,α)⁷Li, протекающей в результате взаимодействия весьма медленных нейтронов с покоящимися ядрами бора. Найти также кинетические энергии продуктов реакции.

Решение.

Ядерная реакция ¹⁰В(n,α)⁷Li состоит в следующем. Ядро бора , поглотив медленный нейтрон , превращается в промежуточное ядро . Последнее, будучи возбужденным, испускает α-частицу (т.е. ядро гелия ), превращаясь в ядро лития . В развернутом виде реакция записывается так:

.

Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции) Q определяется по формуле:

Q Дж, (1)

или Q МэВ.

Заменив массы покоя ядер атомов массами покоя самих атомов (см. табл. 15 Приложения), получим:

Q = 931(10,01294+1,00867–7,01601–

– 4,00260) МэВ = 2,8 МэВ.

Чтобы найти кинетические энергии продуктов реакции – ядра лития ⁷Li и α-частицы, применим закон сохранения релятивистской энергии и закон сохранения импульса:

, или

;

с учетом равенства (1) получим:

Q .

Из условия задачи следует, что величинами T_B и T_n можно пренебречь. Тогда получим для суммы кинетических энергий частиц ⁷Li и ⁴Не:

T_Li + T_Hе = Q (2)

По закону сохранения импульса: .

Полагая суммарный импульс частиц до реакции равным нулю, получим:

.

Отсюда для модулей импульсов имеем: .

Импульсы частиц и их кинетические энергии связаны соотношением . Следовательно:

(3)

Решаем систему уравнений (2), (3):

Т.к. Q , то (Q ),

Q  ;

.

Произведем вычисления:

.

.

Ответ: Q = 2,8 МэВ; Т_Li = 1,02 МэВ; Т_Не = 1,78 МэВ.

Пример 9. Позитрон с кинетической энергией Т = 0,75 МэВ налетает на покоящийся свободный электрон. В результате аннигиляции возникает два γ-фотона с одинаковыми энергиями. Определите угол θ между направлениями из разлета.

Дано:	Решение:
Т = 0,75 МэВ = 0,751,610-13 Дж m0 = 9,110-31 кг 1 = 2 = 	Процесс аннигиляции электрона е- и позитрона е+ происходит по схеме е-+е+→γ+γ и подчиняется
θ-?

з аконам сохранения энергии и импульса. Согласно закону сохранения импульса, импульс позитрона равен векторной сумме импульсов γ-фотонов и (рисунок 55): .

При этом , где ε – энергия каждого γ-фотона.

Из рисунка 55 получим: , тогда:

(*)

Чтобы вычислить угол θ, надо определить импульс позитрона и энергию ε каждого γ-фотона. Импульс позитрона найдем, зная его кинетическую энергию Т. Поскольку величина Т превышает энергию покоя позитрона m₀c² = 0,511 МэВ, то позитрон следует рассматривать как релятивистскую частицу. В этом случае импульс частицы выражается формулой .

Энергию γ-фотона ε определим с помощью закона сохранения релятивистской энергии:

,

где – сумма энергий покоя частиц до реакции, а – сумма их кинетических энергий. Справа стоят величины, относящиеся к частицам после реакции. Учитывая, что масса покоя фотонов равна нулю: , а полная энергия фотонов есть их кинетическая энергия, т.е. , и что электрон и позитрон обладают одинаковой массой покоя m₀, получим: .

Подставив в уравнение (*) значение 2ε и значение импульса позитрона , найдем:

.

Так как энергия покоя электрона (позитрона) m₀c² = 0,511 МэВ, то получим:

; .

Ответ: θ = 99.

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 5

Вар.	Номера задач
0	510	520	530	540	550	560	570
1	501	511	521	531	541	551	561
2	502	512	522	532	542	552	562
3	503	513	523	533	543	553	563
4	504	514	524	534	544	554	564
5	505	515	525	535	545	555	565
6	506	516	526	536	546	556	566
7	507	517	527	537	547	557	567
8	508	518	528	538	548	558	568
9	509	519	529	539	549	559	569

501. Определите частоту света, излучаемого атомом водорода, при переходе электрона на уровень с главным квантовым числом n₁=2, если радиус орбиты электрона изменился в 9 раз.

502. При переходе электрона в атоме водорода из возбужденного состояния в основное радиус орбиты электрона уменьшился в 16 раз. Определите длину волны излученного фотона.

503. Во сколько раз изменится период Т вращения электрона в атоме водорода, если при переходе в невозбужденное состояние атом излучил фотон с длиной волны λ = 97,5 нм?

504. В каких пределах λ должна лежать длина волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус r_n орбиты электрона увеличился в 16 раз?

505. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны λ = 1215 Å. Определите радиус r_n электронной орбиты возбужденного атома водорода и скорость электрона на этой орбите.

506. Определите интервал длин волн, в котором заключена спектральная серия Бальмера для атома водорода, а также максимальную и минимальную энергии фотона в этой серии.

507. Пользуясь теорией Бора, определите частоту f вращения электрона по третьей орбите атома водорода.

508. Используя теорию Бора, определите орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по второй орбите атома водорода.

509. Энергия ионизации атома водорода E_i = 13,6 эВ. Определите энергию фотона, соответствующую второй линии серии Бальмера.

510. Зная, что первый потенциал возбуждения атома водорода U₁ = 10,2 В, определите в электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии серии Лаймана.

511. Определите энергию Т, которую необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от λ₁ = 0,2 нм до λ₂ = 0,1 нм.

512. Определите длину волны де Бройля молекулы водорода, движущейся со средней квадратичной скоростью при температуре Т =300 K.

513. Определите длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 10³ В.

514. Масса движущегося электрона в 2 раза больше массы покоя. Определите длину волны де Бройля для такого электрона.

515. Сравнить длины волн де Бройля электрона, прошедшего разность потенциалов 1000 В и атома водорода, движущегося со скоростью равной средней квадратичной скорости при температуре Т = 300 K.

516. Какой кинетической энергией должен обладать протон, чтобы дебройлевская волны протона была равна его комптоновской длине волны.

517. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля λ = 2,02 пм. Определите массу частицы, если известно, что заряд ее численно равен заряду электрона.

518. Определите длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося при температуре t = 20С с наиболее вероятной скоростью.

519. Определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.

520. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 15 мТл по окружности радиусом R = 1,4 м. Определите длину волны де Бройля для протона.

521. Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию T_min электрона, движущегося внутри сферической области диаметром d = 0,1 нм.

522. Определите относительную неопределенность импульса движущейся частицы, если допустить, что неопределенность ее координаты равна длине волны де Бройля.

523. Используя соотношение неопределенностей , оцените уширение энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время жизни атома в возбужденном состоянии   10^-8 с).

524. Среднее время жизни t атома в возбужденном состоянии составляет около 10^-8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого равна <λ> = 400 нм. Оцените относительную ширину излучаемой спектральной линии, если не происходит уширения линии за счет других процессов.

525. Электрон в атоме водорода движется по первой боровской орбите (r₁ = 52,8 пм). Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от ее числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории?

526. Электрон, обладающий кинетической энергией Т = 1,5 кэВ, оставляет след на фотопластинке, полученный с помощью камеры Вильсона, шириной х = 1 мкм. Определите, можно ли по данному следу обнаружить отклонение в движении электрона от законов классической механики.

527. Оцените с помощью соотношения неопределенностей скорость электрона в атоме водорода, полагая размер атома d = 0,1 нм. Сравните полученную величину со скоростью электрона на первой боровской орбите данного атома.

528. Используя соотношение неопределенностей xp_x  h, оцените минимальную энергию E_min протона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l = 1 Å.

529. Длина волны фотона, излучаемого атомом, λ = 0,6 мкм. Принимая время жизни атома в возбужденном состоянии t = 10^-8 с, определите отношение естественной ширины энергетического уровня Е, на который был возбужден электрон, к энергии, излученной атомом.

530. Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1% от ее числового значения. Определите неопределенность координаты электрона. Является ли электрон в данных условиях квантовой или классической частицей?

531. Частица находится в основном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками. Во сколько раз отличаются вероятности местонахождения частицы: ₁ – в крайней трети и ₂ – в крайней четверти ящика?

532. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность  обнаружения частицы в крайней четверти ящика?

533. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l = 1 нм в возбужденном состоянии. Определите минимальное значение энергии электрона и вероятность нахождения электрона в интервале второго энергетического уровня.

534. В прямоугольной потенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х < l ) находится частица в основном состоянии. Найдите вероятность  местонахождения этой частицы в области .

535. Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, шириной l = 1,410^-9 м. Определите энергию, излучаемую при переходе электрона с третьего энергетического уровня на второй.

536. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими стенками находится в возбужденном состоянии (n = 2). Определите вероятность обнаружения частицы в области .

537. Электрон находится в одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Определите среднее значение координаты <x> электрона (0 < x < l ).

538. Определите ширину l одномерной прямоугольной «потенциальной ямы» с бесконечно высокими стенками, если при переходе электрона с третьего энергетического уровня на второй излучается энергия Е = 1 эВ.

539. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками находится в возбужденном состоянии. Определите вероятность нахождения частицы в интервале на третьем энергетическом уровне.

540. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой l = 1 нм. Определите наименьшую разность энергетических уровней электрона.

541. Определите период полураспада радиоактивного изотопа, если 62,5% начального количества ядер этого изотопа распалось за время t = 849 с.

542. Период полураспада радиоактивного изотопа аргона равен 110 мин. Определить время, в течение которого распадается 25% начального количества атомов.

543. Определите постоянную распада и число атомов радона, распавшихся в течение суток, если первоначальная масса радона m = 10 г.

544. Период полураспада изотопа кобальта равен 5,3 года. Определите, какая доля (%) первоначального количества ядер этого изотопа распадается за время t = 5 лет.

545. Определите массу m изотопа фосфора имеющего активность А = 1Кu.

546. Определите период полураспада Т_1/2 радиоактивного изотопа, если его активность А за время t = 15 сут. уменьшилась на 25% по сравнению с первоначальной.

547. Определите удельную активность а (число распадов в 1 с на 1 кг вещества) изотопа урана , если период его полураспада Т_1/2 = 4,510⁹ лет.

548. Принимая, что все атомы изотопа йода (период полураспада Т_1/2 = 8 сут.) массой m = 1 мкг радиоактивны, определите: 1) начальную активность А₀ этого изотопа; 2) его активность А через 5 суток.

549. Определите, сколько ядер в m = 4 мг радиоактивного изотопа церия распадается в течение времени t = 1 год. Период полураспада церия Т_1/2 = 285 сут.

550. Определите период полураспада Т_1/2 радиоактивного полония , если m = 1 г этого изотопа образует в год V = 89,5 см³ гелия при нормальных условиях.

551. Определить энергию, которую нужно затратить для отрыва нейтрона (энергию связи нейтрона в ядре) от ядра .

552. Определить удельную энергию связи (т.е. среднюю энергию связи, приходящуюся на один нуклон) ядра .

553. Энергия связи ядра, состоящего из двух протонов и одного нейтрона, равна Е_св = 7,72 МэВ. Определите массу нейтрального атома, имеющего это ядро.

554. Какое количество энергии освободится при соединении одного протона и двух нейтронов в атомное ядро?

555. Сколько энергии выделится при образовании одного грамма гелия из протонов и нейтронов?

556. Определите наименьшую энергию, необходимую для разделения ядра на две одинаковые части.

557. Определите энергию связи, приходящуюся на один нуклон (т. е. удельную энергию связи ядра) в ядре атома алюминия .

558. Определите массу нейтрального атома, если ядро этого атома состоит из трех протонов и двух нейтронов, а энергия связи ядра равна Е_св = 26,3 МэВ.

559. Вычислите дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи для элемента ₄₇Ag¹⁰⁸.

560. Определить, какое количество энергии освобождается при соединении одного протона и двух нейтронов в атомное ядро.

561. Определите максимальную кинетическую энергию Т электрона, вылетающего при -распаде нейтрона. Напишите уравнение распада.

562. Вычислите энергию термоядерной реакции . Поглощается или выделяется энергия?

563. Определите количество теплоты Q, выделившееся при образовании m =1 г гелия в результате ядерной реакции .

564. При облучении α-частицей ядра атома образуется новый элемент и нейтрон. Определите: 1) какой элемент получается в результате этой реакции; 2) тепловой эффект этой реакции.

565. Жолио-Кюри облучали магний α-частицами, в результате чего испускался нейтрон и образовывалось искусственно-радиоактивное ядро, испытывающее -распад. Запишите эту реакцию.

566. Какая энергия выделится, если при реакции подвергнуть превращению все ядра, находящиеся в m = 5 г бериллия?

567. Электрон и позитрон, имевшие одинаковые кинетические энергии Т = 0,51 МэВ, при воздействии превратились в два одинаковых фотона. Определите энергию ε каждого фотона и соответствующую ему длину волны λ.

568. Определите скорости продуктов реакции , протекающей в результате взаимодействия тепловых нейтронов с покоящимися ядрами бора.

569. Считая, что в одном акте деления ядра урана освобождается энергия 200 МэВ, определите массу m этого изотопа, подвергшегося делению при взрыве атомной бомбы с тротиловым эквивалентом m₁ = 3010⁶ кг, если тепловой эквивалент тротила q =4,19 МДж/кг.

570. Определите тепловые эффекты следующих реакций: ⁷Li(p,n)⁷Be и .