6. Элементы атомной физики

И квантовой механики.

Физика атомного ядра

Основные законы и формулы

• Первый постулат Бора. Электрон в атоме водорода движется, не излучая, по круговой орбите, для которой момент импульса электрона

, или ,

где m_e – масса электрона;

– скорость электрона на n-ой орбите;

r_n – радиус n-ой стационарной орбиты;

ħ = 1,0510^-34 Джс, или h = 6,6310^-34 Джс – постоянная Планка;

n = 1, 2, 3,… – квантовое число (номер орбиты электрона).

• Второй постулат Бора. При переходе электрона с одной орбиты на другую атом водорода излучает или поглощает квант энергии:

,

где и – полные энергии электрона в атоме на соответствующей орбите.

• Полная энергия электрона в атоме водорода

(n = 1, 2, 3,…),

где n – номер орбиты;

m_e – масса электрона;

е – заряд электрона;

ε₀ = 8,8510^-12 Ф/м – электрическая постоянная;

h – постоянная Планка.

• Формула, позволяющая найти частоты v или длины волн λ, соответствующие линиям водородного спектра (сериальная формула Бальмера)

,

где R – постоянная Ридберга (R = 1,1010⁷ м^-1);

с – скорость света в вакууме;

n₁ и n₂ – квантовые числа, определяющие номера орбит электрона.

Для водородоподобных ионов формула имеет вид:

,

где Z – порядковый номер в таблице Менделеева.

• Длина волны де Бройля

,

где p=m – модуль импульса движущейся частицы.

• Импульс частицы и его связь с кинетической энергией T:

а) ; ;

б) ; ,

где m₀ – масса покоя частицы;

m – релятивистская масса частицы;

– скорость частицы;

с – скорость света в вакууме;

Е₀ – энергия покоя частицы (Е₀ = m₀с²).

• Соотношение неопределенностей:

а) для координаты и импульса

,

где Р_х – неопределенность проекции импульса на ось Х;

х – неопределенность координаты;

б) для энергии и времени

,

где Е – неопределенность энергии;

t – неопределенность времени жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

• Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

где ψ(х) – волновая функция, описывающая состояние частицы;

m – масса частицы;

Е – полная энергия частицы;

U = U(х) – потенциальная энергия частицы.

• Плотность вероятности

,

где dω(x) – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой x на участке dx.

• Вероятность обнаружения частицы в интервале от х₁ до х₂

• Решение уравнение Шредингера для одномерного бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

а) – собственная нормированная волновая функция;

б) – собственное значение энергии, где n – квантовое число (n = 1, 2, 3,…); l – ширина ящика.

В области 0  x  l U = ∞ и ψ(х) = 0.

• Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера, т.е. вероятность прохождения (туннелирования) микрочастицы сквозь барьер:

,

где D₀ – коэффициент, по порядку величины близкий к единице;

U – высота потенциального барьера;

l – его ширина;

Е – энергия частицы;

m – масса частицы.

• Закон радиоактивного распада

dN = –λNdt , или ,

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt;

N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t;

N₀ – число ядер в начальный момент (t = 0);

λ – постоянная радиоактивного распада.

• Число ядер, распавшихся за время t:

.

• Период полураспада

.

• Среднее время жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшилось в е раз:

.

• Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе

,

где m – масса изотопа;

М – молярная масса;

N_A – постоянная Авогадро (N_A=6,0210²³ моль^-1).

• Активность радиоактивного изотопа

, или ,

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt;

А₀ – активность изотопа в начальный момент времени (t = 0), А₀=λN₀.

• Удельная активность изотопа

.

• Дефект массы ядра

,

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре);

А – массовое число (число нуклонов в ядре);

(А-Ζ) – число нейтронов в ядре;

m_р – масса протона;

m_n – масса нейтрона;

m_я – масса ядра.

• Энергия связи ядра

Е_св = mс²,

где Δm – дефект массы ядра;

с – скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна Е_св = 931Δm Мэв, где дефект массы Δm – в а.е.м.; 931 – коэффициент пропорциональности (1 а.е.м.  931 МэВ).

• Правило смещения:

1. для α-распада: ;

2. для β^- -распада: ;

3. для β⁺ -распада: .

• Ядерные реакции. Символическая запись ядерной реакции может быть дана или в развернутом виде, например:

или сокращенно

.

При сокращенной записи порядковый номер атома не пишут, так как он определяется химическим символом атома. В скобках на первом месте ставят обозначение бомбардирующей частицы, на втором – обозначение частицы, вылетающей из составного ядра, и за скобками – химический символ ядра-продукта.

Обозначения частиц: р – протон, n – нейрон, d – дейтрон, t – тритий (тритон), α-альфа-частица, γ-гамма-фотон.

• Энергетический эффект ядерной реакции

Q = c²[(m₁+m₂) – (m₃+m₄)],

где m₁ – масса покоя ядра-мишени;

m₂ – масса покоя бомбардирующей частицы,

(m₃ + m₄) – сумма масс покоя ядер продуктов реакции.

Если m₁ + m₂ > m₃ + m₄, то энергия освобождается, реакция экзотермическая. Если m₁ + m₂ < m₃ + m₄, то энергия поглощается, реакция эндотермическая.

• При решении задач на ядерные реакции применяются законы сохранения:

1) электрического заряда: z₁ + z₂ = z₃ + z₄;

2) суммарного числа нуклонов: А₁ + А₂ = А₃ + А₄;

3) релятивистской полной энергии: Е₁ + Е₂ = Е₃ + Е₄; или

,

где – сумма энергий покоя частиц и их кинетических энергий до реакции; справа то же для частиц после реакции;

4) импульса: р₁ + р₂ = р₃ + р₄.