4. Линейная модель обмена (модель международной торговли)
В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).
Пусть имеется n стран S1 , S2 , ... , Sn, национальный доход каждой из которых равен соответственно x1 , x2 , ... , xn. Обозначим коэффициентами aij долю национального дохода, которую страна Sj тратит на покупку товаров у страны Si. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.
a1j + a2j + ... + anj = 1 (j = 1,2,...,n).
|
|
|| |
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|| |
|
|
|
|| |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|| |
|
A |
= |
|| |
... |
... |
... |
... |
|| |
, |
|
|
|| |
an1 |
an2 |
... |
ann |
|| |
|
Рассмотрим матрицу которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.
Для любой страны Si (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:
pi = ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn.
Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны Si, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:
pi > = xi (i = 1,2,...,n).
Если считать, что pi > xi (i = 1,2,...,n), то получаем систему неравенств:
a11 |
x1 |
+ |
a12 |
x2 |
+ |
... |
+ |
a1n |
xn |
> |
x1 |
, |
a21 |
x1 |
+ |
a22 |
x2 |
+ |
... |
+ |
a2n |
xn |
> |
x2 |
, |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
an1 |
x1 |
+ |
an2 |
x2 |
+ |
... |
+ |
ann |
xn |
> |
xn |
. |
Сложив все неравенства системы, получим после группировки:
x1(a11 + a21 + ... + an1) + x2(a12 + a22 + ... + an2) + ... + xn(a1n + a2n + ... + ann) > x1 + x2 + ... + xn.
Учитывая, что выражения в скобках равны единице, мы приходим к противоречивому неравенству:
x1 + x2 + ... + xn > x1 + x2 + ... + xn.
Таким образом, неравенство pi > xi (i = 1,2,...,n) невозможно, и условие pi > = xi принимает вид pi = xi (i = 1,2,...,n). (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.)
Вводя вектор x = (x1 , x2 , ... , xn) национальных доходов стран, получим матричное уравнение:
AX = X,
где X - матрица-столбец из координат вектора x, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению, равному единице.