Вычисление двойного интеграла
Существуют два основных вида области интегрирования:
1.Область интегрирования Д ограничена слева и справа прямыми х = а,
х = в (а в), а снизу и сверху - непрерывными кривыми у = 1(х) и у =2(х)
(1(х) 2(х)), каждая из которых пересекается прямой, параллельной оси Оу, только в одной точке (рис. 1).
У
у
= (х)
у
= 1(х)
Д
Х
а
в
Рис. 1
У
х
= 1(у)
х
= 2(у)
d
Д
c
Х
Рис. 2
Вычисление двойного интеграла сводится к двукратному интегрированию
.
Интеграл
называется внутренним. В нем х
считается
постоянной. Этот интеграл вычисляется
в первую очередь. А потом вычисляется
внешний интеграл по переменной х.
Для того, чтобы поставить пределы внутреннего интеграла, надо посмотреть на изменение у вдоль вектора от точки входа вектора в область Д (нижний предел) до точки выхода вектора из области Д (верхний предел). Пределы внешнего интеграла всегда постоянны и показывают пределы изменения переменной х.
2. Пусть область интегрирования Д ограничена снизу и сверху прямыми
у = с, у = d (с d) , а слева и справа - непрерывными кривыми х = 1(у), х = 2(у) (1 (у) 1 (у)), каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 2).
Тогда двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле
,
причем
сначала вычисляется внутренний интеграл,
,
в котором у
считается постоянной.
ЗАДАЧА № 22
Вычислить повторные интегралы
1.
.
1.
.
ЗАДАЧА № 23
Вычислить следующие двойные интегралы по области Д, ограниченные линиями
1.
;
2.
.
1
У
.
Х
D
.
2.
;
;
Y
Д
X
=
=
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Площадь
плоской фигуры, ограниченной областью
Д,
определяется по формуле
.
Если
область Д
определена неравенствами а
х
в, 1(х)
у
2(х),
то двойной интеграл вычисляется по
формуле
.
Если область Д в полярных координатах определена неравенствами
,
1()
2(),
то площадь
.
ЗАДАЧА № 24
С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигур
1.
.
1. ;
y1
y2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f(x,y), снизу плоскостью z = 0, сбоку - цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости хОу область Д, вычисляется по формуле:
.
ЗАДАЧА № 25
Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
1.
;
Проекция тела на плоскость ХОУ:
y1
X
a11
У
Перейдем к полярным координатам:
.
ПОЯСНЕНИЕ
Номер варианта в задачах 9 - 25 совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.
№ варианта |
а11 |
а12 |
а13 |
а21 |
а22 |
а23 |
а31 |
а32 |
а33 |
в1 |
в2 |
в3 |
1 |
1 |
-2 |
3 |
-4 |
5 |
-6 |
7 |
-8 |
9 |
5 |
-6 |
7 |
2 |
2 |
10 |
-9 |
8 |
-7 |
6 |
11 |
-12 |
13 |
8 |
9 |
4 |
3 |
3 |
4 |
5 |
-6 |
7 |
-8 |
9 |
-10 |
6 |
4 |
-3 |
2 |
4 |
2 |
2 |
10 |
8 |
-6 |
-3 |
1 |
5 |
-7 |
9 |
2 |
4 |
5 |
5 |
1 |
3 |
4 |
-2 |
6 |
8 |
-7 |
9 |
2 |
4 |
3 |
6 |
6 |
5 |
1 |
-7 |
3 |
4 |
-2 |
2 |
3 |
1 |
5 |
6 |
7 |
7 |
3 |
-4 |
5 |
8 |
-9 |
10 |
6 |
4 |
3 |
1 |
-8 |
8 |
8 |
-6 |
2 |
3 |
4 |
1 |
-4 |
3 |
-5 |
-6 |
7 |
-1 |
9 |
9 |
7 |
8 |
1 |
-1 |
2 |
3 |
-4 |
2 |
-2 |
8 |
5 |
0 |
10 |
8 |
7 |
2 |
9 |
-5 |
6 |
1 |
-1 |
7 |
2 |
9 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА
«ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 1