39

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИГНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждена на заседании кафедры ИСС 19 сентября 2002 года

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Методические указания и

контрольные задания № 1

для студентов заочной ускоренной формы обучения

Ростов-на-Дону

2005 г.

УДК 512.8 (08)

Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Интегральное исчисление. Методические указания и контрольные задания №1 для студентов заочной ускоренной формы обучения. – Ростов – на - Дону: РГСУ, 2004.- 42 c.

Методические указания содержат методы решения заданий. Приведены необходимые теоретические сведения. Изложение сопровождается подробным решением типичных примеров.

Предназначена для студентов заочной формы обучения специальности ЗПГС, ЗМ, ЗЭУН.

Составитель: канд. физ – мат. наук, А.Е. Богданов

Рецензент: д-р физ. - мат. наук, проф. М.Г. Селезнев

Редактор Н.Е. Гладких

Темплан 2004 г., поз. 90

ЛР 020818 от 13.01.99. Подписано в печать 23.03.04. Формат 60х84/16

Бумага белая. Ризограф. Уч. – изд. л. 2,5. Тираж 50 экз. Заказ

Редакционно-издательский центр Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162

 РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2004

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Линейная алгебра основные сведения определители

Определителем второго порядка называется выражение

. (1)

Разложение определителя по строке (столбцу)

Разложение определителя по i-ой строке (i = 1, 2, 3):

. (2)

Разложение определителя по j-му столбцу(j = 1,2,3) : . (3)

В формулах (2) и (3) А_ij - алгебраические дополнения, которые вычисляются по формуле:

, (5)

где первый сомножитель определяет знак выражения, например

(-1)¹⁺³ = (-1)⁴ = 1, второй - определитель второго порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, например,

.

Разложение по первой строке:

,

а разложение по второму столбцу:

Системы линейных уравнений. Формулы крамера

Система линейных уравнений: (4)

В (4) х₁,х₂,х₃ - неизвестные, которые необходимо определить, а_i,_j - коэффициенты при неизвестных, в_i - свободные члены.

Определитель системы: т. е. определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

Если определитель системы 0, то система имеет единственное решение при любых правых частях, которое может быть найдено по формулам Крамера:

, (7)

где ₁ - определитель, который получается из  заменой первого столбца на столбец правых частей, ₂ - заменой второго столбца, ₃ - третьего столбца, так

, .

ЗАДАЧА № 1

Решить систему линейных уравнений:

Вычисляем:

;

- - ;

;

;

.

Скалярное и векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов.

Скалярное произведение вектора на вектор , определяется соотношением:

 = . (6)

Например,  = 3 * (-1) + 1 * 2 + 4 * 1 + 0 * (-4) = 3.

Свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. . (7)

Длина вектора: . (8)

Например, .

Косинус угла между векторами определяется формулой:

. (9)

Векторы называют ортогональными, если * = 0 (т. е. Cos = 0 ).

Координаты вектора вычисляются по формуле:

, (10)

где А(а₁, а₂, а₃) и В(в₁, в₂, в₃).

Проекцией вектора на вектор называется произведение длины вектора на косинус угла между векторами и , и обозначается .

Векторное произведение - это вектор, который вычисляется по формуле

= (а₁, а₂, а₃), = (в₁, в₂, в₃);

. (11)

Разлагаем определитель по первой строке:

;

.

Свойства:

1. 

2. ,

3. ,

4. . (12)

Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Смешанное произведение трех векторов = (а₁, а₂, а₃), = (в₁, в₂, в₃),

= (с₁, с₂, с₃) определяется выражением: . (13)

Абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.