Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский государственный технический университет

Кан О.А., Баржаксынова А.И., Кудышева Г.О., Горбатова Л.В.

Методические указания

к выполнению самостоятельной работы студентов

по дисциплине: «ИНФОРМАТИКА»

на тему: «Основы дискретной математики»

Караганда 2010

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский государственный технический университет

Кан О.А., Баржаксынова А.И., Кудышева Г.О., Горбатова Л.В.

Методические указания

к выполнению самостоятельной работы студентов

по дисциплине: «ИНФОРМАТИКА»

на тему: «Основы дискретной математики»

для студентов всех специальностей дневной формы обучения

Караганда 2010

УДК 004.65(076)

ББК 002.6(07)

Л12

Кан О.А., Баржаксынова А.И., Кудышева Г.О., Горбатова Л.В.

Методические указания по выполнению самостоятельной работы студентов. Караганда: КарГТУ, 2010. 43с.

Методические указания по выполнению самостоятельной работы студентов состоят из двух тем и составлены в соответствии с требованиями учебного плана и рабочей программы дисциплины «Информатика».

Методические указания включают в себя две темы, состоящие из теоретической части, задач и упражнений для самостоятельного выполнения, примеров выполнения заданий и упражнений, для контроля знаний включены тестовые вопросы и темы рефератов.

Рецензент – член редакционно-издательского совета КарГТУ И.В. Брейдо, д-р техн.наук, профессор.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

©Карагандинский государственный

технический университет, 2010

Содержание

1. Множества, функции и отношения. Графы и деревья……………….. 5

1.1 Понятие множества…………………………………………………… 5

1.2 Примеры решения задач на множества ……………………………... 8

1.3 Понятие функции …………………………………………………….. 11

1.4 Понятие отношения …………………………………………………. 11

1.5 Графы и деревья ……………………………………………………... 12

1.6 Задания для самостоятельного решения …………………………… 14

2 Основные понятия математической логики ……………………….… 16

2.1 Основы алгебры логики ……………………………………………. 16

2.2 Основные законы алгебры логики ………………………………… 20

2.3 Примеры решения задач на логику ……………………………….... 21

2.4 Задания для самостоятельного решения …………………………..... 27

3 Контрольные вопросы ……………………………………………….... 30

4 Темы рефератов ………………………………………………………... 30

5 Литература …………………………………………………………….. 32

Основы дискретной математики

Тема 1: Множества, функции и отношения. Графы и деревья.

Тема 2: Основы логики, логика высказываний, логические связки, таблицы истинности. Логические операции. Формулы и их преобразования

Объем времени: 3 часа.

Цель: Дать представление о теоретических основах дискретной математики; научить пользоваться методами дискретной математики (в частности, теории отношений, теории графов, математической логики) для формализации и решения прикладных задач.

1. Множества, функции и отношения. Графы и деревья.

1.1 Понятие множества

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, ...,M, K,... . Если множество A состоит из элементов a,b,c,..., это обозначается с помощью фигурных скобок: A={a,b,c,...,}. Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: a  A. Если же a не является элементом множества A , то пишут a  A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N={1,2,3,...,} . Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом .

Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа := (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Определение 1 (определение равенства множеств). Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из xA следует xB и обратно, из xB следует xA.

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом  (А=В):=  x((x  A)  (x  B)),

это означает, что для любого объекта x соотношения xA и xB равносильны.

Здесь  – квантор всеобщности ( x читается как "для каждого x").

Определение 2 (определение подмножества). Множество А является подмножеством множества В, если любое х принадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.

(A  B) :=  x ((x A)  (x  B))

Если A B, но A B, то A – собственное подмножество множества В.

Пример 1. Множество {2,4,6,..., 2n,...} является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами

1. Объединение (рис. 1)

C=A  B: = {x:x  A или x  B}

Пример 2. Решить неравенство

|2x+1| > 3.

Из данного неравенства следует либо неравенство

2x+1>3

в случае, когда 2x+1 0, тогда x>1, либо неравенство

2x+1<-3,

в случае, когда 2x+1<0, тогда x<-2.

Множеством решений исходного неравенства является объединение найденных промежутков решения (-,-2) (1,+).

Пример 3. A = {1; 3; 5; 7; ...; 2n-1; ....} — нечетные числа

B = {2; 4; 6; 8; ....; 2n; ...} — четные числа

A  B = {1; 2; 3; ...; n; ......} — натуральный ряд

2. Пересечение (рис. 2)

C=A  B:= {x: x  A и x  B }

Пример 4. A={2,4,...,2n,...}, B={3,6,9,...,3n,...}. Тогда C=A B={6,12,...,6n,...}.

3. Вычитание (рис. 3)

A \ B: = {x:x  A и x  B}

4. Дополнение (рис.4)

Пусть U — универсальное множество (все остальные множества принадлежат U)

A = CA: = {x:x  U и x  A} = U \ A

5. Симметрическая разность (рис. 5)

A  B:= (A \ B)  (B \ A) = (A  B) \ (A  B)