Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

. (2.1)

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

_(2.2)

_{При решении задач, дисперсию удобно находить по формуле . (2.3)}

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии

Пример 2.3. Дискретная случайная величина задана законом распределения

X	2	4	5	7
Р	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти: математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение .

Решение. По формуле (2.1) находим математическое ожидание X:

По формулам (2.3) и (2.4) и найдём дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Математические операции над случайными величинами

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения

X
P

Y
P	p	p		p

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины. Будем рассматривать независимые случайные величины.

Произведением постоянной С на случайную величину X называется новая случайная величина , которая принимает свои значения с вероятностями .

m-й степенью случайной величины Х называется случайная величина , которая принимает свои значения с вероятностями .

Суммой двух случайных величин X и Y называется случайная величина _{, принимающая все значения} , с вероятностями , для всех указанных значений i и j.

Разностью двух случайных величин X и Y называется случайная величина _{, принимающая все значения} , с вероятностями , для всех указанных значений i и j.

Произведением двух случайных величин X и Y называется случайная величина , _{принимающая все значения} , с вероятностями , для всех указанных значений i и j.

Пример 2.4. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:

X	1	3	4								Y	0	2	3
P	0,1	?	0,6								Р	0,2	0,4	?

а) найти

б) составить закон распределения случайной величины

Найти M(Z), D(Z) и проверить выполнение свойств

в) составить закон распределения . Найти M(V) и проверить выполнение свойства

Решение: а) Так как

Запишем закон распределения случайных величин X и Y . :

X	1	3	4								Y	0	2	3
P	0,1	0,3	0,6								Р	0,2	0,4	0,4

б) Найдём возможные значения случайной величины которые равны суммам каждого возможного значения величины X с каждым возможным значением величины Y. Их соответствующие вероятности равны произведениям вероятностей слагаемых:

	1+0=1	1+2=3	1+3=4	3+0=3

3+2=5	3+3=6	4+0=4	4+2=6	4+3=7

Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:

	1	3	4	5	6	7
	0,02	0,1	0,16	0,12	0,36	0,24

в) Составим закон распределения . Найдём возможные значения случайной величины V, которые равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y. Их соответствующие вероятности равны произведениям вероятностей сомножителей:

			1
	0,02	0,04	0,04	0,06

0,12	0,12	0,12	0,24	0,24

Одинаковые значения величины объединяем, складывая их вероятности.

Закон распределения записываем так:

	0	2	3	6	8	9	12
	0,2	0,04	0,04	0,12	0,24	0,12	0,24

Найдём

Таким образом,

Задачи

165. Какие из перечисленных ниже случайных величин являются дискретными: а) число студентов в группе, сдавших экзамен на «отлично»; б) число бракованных изделий в отобранной на проверку партии; в) отклонение размера обрабатываемой детали от стандарта; г) число посетителей отделения сбербанка в течение дня; д) время обслуживания покупателя кассиром; е) время ожидания пассажиром автобуса.

166. Известен закон распределения случайной величины Х:

xi	2	6	10
pi	0,5	0,4	0,1

Найти функцию распределения и построить её график. Определить вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение: а) меньше 5; б) не меньше 7; в) заключённое в интервале (0;8).

167. Доход от финансовой операции подчиняется закону распределения Х:

xi	0	1	2	3
pi	0,2	0,3	0,4	?

Найти: а) вероятность p(x = 3); б) функцию распределения этой случайной величины и построить её график . б) Определить аналитически и показать на графике P(1  x < 3).

168. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения :

xi	4	6	8	10
pi	0,1	0,25	0,45	0,2

Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

169. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения :

xi	-10	-4	0	10
pi	0,15	0,25	0,45	0,15

Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

170. Изучение спроса изделий некоторой фирмы дало распределение случайной величины Х – числа потребляемых за месяц изделий:

xi	0	10	20	30	40	50
pi	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2

Составить функцию распределения F(x), построить её график. Найти среднее число изделии, потребляемых в течение месяца. Найти вероятность того, что за месяц будет продано от 25 до 40 изделий данной фирмы.

171. Функция распределения случайной величины Х дискретного вида имеет следующий вид:

Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

172. Случайная величина Х принимает только два значения и , причём . Вероятность того, что Х примет значение равна 0,2. Найти закон распределения Х , зная что М(Х)= 2,6 , σ(Х)=0,8 .

173. Случайная величина Х принимает три возможных значения: -1; 0; 1 с вероятностями , соответственно , , . Найти закон распределения Х , если известны М(Х)= 0,3 , М(Х²)=0,7 .

174. Случайная величина Х имеет следующее распределение:

xi	– 1	0	1	2
pi	0,2	0,3	0,4	0,1

Составить законы распределения:

а) Y₁ = 3X ; б) Y₂ = X² ; в) Y₃ = (X – 1)² и найти их числовые характеристики.

175. Закон распределения случайной величины Х имеет вид :

xi	– 1	0	2
pi	0,6	0,3	0,1

а) составить закон распределения случайных величин Y = 2X, Z = X + X и убедиться, что это различные случайные величины, т.е., что Y  Z; б) вычислить математические ожидания и дисперсии случайных величин 2X и X + X; в) можно ли для Z = X + X применить теорему о дисперсии суммы случайных величин?

В задачах 176 – 180 даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и Y. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины Z; б) найти числовые характеристики случайной величины Z; в) составить функцию распределения Z и построить её график.

176.

xi	2	5	8
pi	0,7	0,1	0,2

уi	2	4	6
pi	0,35	0,4	0,25

Z = X + 2Y.

177.

xi	3	6	9
pi	0,6	0,3	0,1

уi	5	15	25
pi	0,9	0,05	0,05

Z = 3Х – 5Y.

178.

xi	– 1	0	2
pi	0,4	0,5	0,1

уi	1	3	5
pi	0,2	0,5	0,3

Z = X ∙ Y.

179.

xi	2	3	4
pi	0,2	0,4	0,4

уi	3	4	5
pi	0,3	0,4	0,3

Z = (2X) ∙ Y.

180.

xi	2	4	6
pi	0,6	0,2	0,2

уi	– 1	0	2
pi	0,15	0,25	0,6

Z = Y³ + X².

181. Доходность х, y (тыс. руб.) двух видов ценных бумаг подчиняются следующим законам распределения:

xi	– 1	0	2
pi	0,2	0,4	0,4

уi	0	1	2
pi	0,4	0,5	0,1

Определить среднюю доходность этих бумаг. Составить функцию распределения суммы этих случайных величин (доходность портфеля из этих бумаг). Найти вероятность того, что доходность портфеля будет: а) не менее 2 тыс. руб.; б) не более 0.

182. Сумма выплат по договору страхования описывается законом распределения

xi (тыс. руб.)	0		1		2
pi		0,7		0,2		0,1

Составить функцию распределения случайной величины S – суммы выплат по трём договорам страхования и найти вероятность того, что S  4 тыс. руб. Построить её график.

183. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:

для первого для второго

Х	0	1	2
Р	0,1	0,6	0,3

У	0	2
Р	0,5	0,5

Составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить её график. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

184. Законы распределения независимых случайных величин Х и Y даны в таблицах:

	хi	1	2	4	5			yi	0	3	4
	рi	0,1	0,35	0,25	0,3			рj	0,2	0,5	0,3

Составить закон распределения случайной величины Z = X + 2Y. Проверить на этом примере свойства математического ожидания и дисперсии суммы случайных величин и произведения постоянной величины на случайную.

185. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y , если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.

186. X, Y, Z – случайные величины: Х – выручка фирмы, Y – затраты фирмы, Z = X – Y – прибыль. Найти распределение прибыли и её среднее значение, если выручка и затраты заданы распределениями:

Х	3	4	5
Р	1/3	1/3	1/3

У	1	2
Р	0,5	0,5

187. Х – выручка фирмы в долларах. Найти распределение выручки в рублях Z = X ∙ Y и её среднее значение в пересчёте по курсу доллара, если выручка Х не зависит от курса Y, а распределения Х и Y имеют вид:

Х	1000	2000
Р	0,7	0,3

У	25	26	27	28
Р	0,2	0,2	0,45	0,15

188. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих на игральной кости при одном бросании. Найти математическое ожидание суммы и произведения числа очков, выпадающих при одновременном бросании двух игральных костей M (X+Y), M(X Y).

189. Сделано два высокорискованных вклада: 10 тыс. руб. в компанию А и 15 тыс. руб. – в компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Компания В обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятность 0,15. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли, полученной от двух компаний через год, и найти её математическое ожидание.

190. Вероятность своевременной поставки продукции для каждого из трёх поставщиков соответственно равны 0,8; 0,9; 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х – числа поставщиков, своевременно поставивших продукцию. Найти числовые характеристики Х.

191. Партия из 6 телевизоров содержит 2 неисправных. Из этой партии наугад выбирают 3 телевизора. Найти закон распределения случайной величины Х – количества неисправных телевизоров среди выбранных. Определить математическое ожидание и дисперсию.

192. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятность 0,1. Составить закон распределения числа возвращённых в срок кредитов из 5 выданных. Составить функцию распределения и построить её график. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

193. В лотерее 1 000 билетов, из них на один билет падает выигрыш

в 1 000 руб., на 10 билетов – выигрыш по 500 руб., на 50 билетов – выигрыш по 200 руб., на 100 билетов – выигрыш по 50 руб., остальные билеты невыигрышные. Составить закон Х – суммы выигрыша на один билет.

194. Продавец мороженого в солнечный день может продать мороженого на 2 тыс. руб., а в дождливый – на 200 руб. Составить закон распределения ожидаемой дневной выручки, если вероятность того, что день окажется дождливым, равна 0,2.

195. С целью получения займа предприниматель обращается в один из четырёх банков. В случае отказа в займе он обращается в следующий и так далее. Вероятность получения займа в первом банке равна 0,6, для каждого последующего она возрастает на 0,1. Случайная величина Х – количество банков, в которые обратится предприниматель. Составить закон распределения этой случайной величины и найти вероятность того, что 2  Х < 4.

196. При выполнении условий контракта фирма с вероятностью р₁ = 0,9 получит прибыль, равную 10 000 руб. и с вероятностью р₂ = 0,1 получит прибыль равную 40 000 руб. При невыполнении условий контракта фирма уплачивает 20 000 руб. Случайная величина Х – доход фирмы от контракта. Составить закон распределения случайной величины Х, если вероятность выполнения условий контракта фирмой равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию.

197. Некий человек, имея 4 ключа, хочет открыть дверь. При этом он подбирает ключи случайно. Найти математическое ожидание и дисперсию числа испытаний при следующих условиях: а) испробованный ключ не устраняется из дальнейшего выбора; б) устраняется (предполагается, что только один ключ подходит к двери).

198. Два баскетболиста делают по два броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при броске для каждого спортсмена соответственно равны 0,3 и 0,4. Составить распределения Х – числа попаданий в корзину, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

199. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий.

200. Подбрасывается 5 игральных костей, общее число подбрасываний равно 20. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х – числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку.

201. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Х	2	3	4
Р	0,1	0,4	0,5

Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвёртого порядков.

Х	1	3	4
Р	0,1	0,6	0,3

202. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвёртого порядков.

203. В магазин вошли 3 покупателя. Вероятности того, что каждый из них совершит покупку, соответственно равны 0,8, 0,7, 0,6. Составить закон распределения числа покупателей, совершивших покупку, вычислите начальный момент первого порядка и центральный момент второго порядка.

204. В городе 9 машиностроительных предприятий, из которых 6 рентабельных и 3 убыточных. Программой приватизации намечено приватизировать 5 предприятий. При условии проведения приватизации в случайном порядке составить закон распределения рентабельных предприятий, попавших в число приватизируемых. Найти начальные и центральные моменты второго порядка.