1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: . (1.9)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: . (1.10)

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. .

Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие наступило: . (1.11)

Для независимых событий . (1.12)

Пример 1.12. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – в Хабаровский край, три – в Приморский край. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления в Хабаровском крае?

Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ для Хабаровского края. Событие В – второй заказ так же предназначен для потребления в Хабаровском крае. Нам необходимо найти вероятность Р(АВ). Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий, используя формулу (1.11), имеем

.

Пример 1.13. Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранное изделие окажется высшего сорта, равна 0,8; первого сорта − 0,7; второго сорта − 0,5. Найти вероятность того, что из трёх наудачу отобранных изделий будут: а) только два высшего сорта; б) все разного сорта.

Решение. Пусть событие А₁ – изделие высшего сорта; событие А₂ – изделие первого сорта; событие А₃ – изделие второго сорта. События А₁,А₂,А₃ – независимы. По условию задачи Р(А₁) = 0,8, Р(А₂) = 0,7, Р(А₃) = 0,5.

а) Событие А – только два изделия из трёх отобранных  высшего сорта будет выглядеть так: А = А₁А₁А₂+А₁А₁А₃, б) Событие В – все три изделия различного сорта, выразим так , тогда .

Указания. Анализ и решение задач включённых в данный параграф, можно осуществлять по следующей схеме:

1. Уясните, в чём состоит рассматриваемое в задаче испытание.

2. Обозначьте буквами события, рассматриваемые в условии задачи.

3. С помощью введённых обозначений выразите событие, вероятность наступления которого необходимо найти.

4. Если требуется найти вероятность суммы событий, выясните, совместны или несовместны рассматриваемые события. Если же требуется найти вероятность произведения событий, выясните, зависимы или независимы рассматриваемые события.

5. Выберите соответствующую условию задачи формулу и выполните необходимые вычисления.

Задачи.

64. Укажите, какие из следующих пар событий являются несовместными:

а) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 100 включительно: делится на 10; делится на 11;

б) нарушение в работе: первого; второго мотора летящего самолёта;

в) попадание; промах при одном выстреле;

г) выигрыш; проигрыш в шахматной партии;

д) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включительно является: чётным; кратным трём?

65. Брокерская фирма имеет дело с акциями и облигациями. Для анализа деятельности фирме полезно оценить вероятность того, что лицо, интересующее фирму, является держателем акций (событие А) или облигаций (событие В). Определите в этом контексте следующие события: а) клиент является держателем акций и облигаций; б) или держателем акций, или держателем облигаций, или акций и облигаций.

66. Среди студентов данной группы выбирают наудачу одного. Пусть событие А означает, что выбранный студент окажется юношей, событие В – студент-отличник, событие С – студент живёт в общежитии. Опишите событие АВ

67. Если событие А – выигрыш по билету одной лотереи, В – выигрыш по билету другой лотереи, то что означают события:

а) С= ; б) Д = А + + АВ.

68. Пусть А, В, С – три события. Записать выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: а) все три события произошли; б) произошло только событие А; в) произошло А и В, а событие С не произошло; г) произошло только одно событие; д ) произошло только два события.

69. Вероятность для компании, занимающейся строительством, получить контракт в стране А, равна 0,4, в стране В – 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в В равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?

70. На предприятии работает 550 сотрудников, 380 из них имеют высшее образование, а 412 – среднее специальное образование, 357 сотрудников имеют

и высшее, и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник имеет либо среднее специальное, либо высшее образование, либо и то и другое?

71. Студент отвечает на 5 вопросов теста «да» и «нет». Какова вероятность того, что ответы на все вопросы оказались правильными, если он отвечал наудачу?

72. Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,85. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время (вероятность): а) работы только одного комбайна; б) простоя обоих комбайнов.

73. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены потребует внимания рабочего 0,32, второй – 0,24, третий – 0,41, четвёртый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены не потребуют внимания рабочего: а) один станок; б) 3 станка; в) 4 станка; г) хотя бы один станок.

74. Издательство направляет газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе отделение – 0,92 и в третье – 0,84. Найти вероятность того: а) что газеты получат вовремя только одно отделение; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

75. Вероятности своевременного возвращения кредита каждым из трёх заёмщиков банку независимы и соответственно равны: 0,76; 0,89; 0,97. Найти вероятность следующих событий: а) только два заёмщика возвратят кредит своевременно; б) хотя бы два заёмщика возвратят кредит своевременно.

76. Абонент разыскивает нужный номер телефона в трёх телефонных справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6; 0,9; 0,8. Найти вероятность того, что нужный номер содержится не менее чем в двух справочниках.

77. Контрольная работа состоит из 3 задач по алгебре и 3 задач по геометрии. Вероятность правильно решить задачу по алгебре равна 0,8, а по геометрии – 0,6. Какова вероятность правильно решить все три задачи хотя бы по одному из предметов?

78. На участке работают две бригады. Вероятность выполнения плана первой бригадой равна 0,9. Вероятность выполнения плана хотя бы одной бригадой равна 0,995. Найти вероятность выполнения плана: а) второй бригадой;

б) только одной бригадой.

79. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут обеспечить доход своему владельцу с вероятностью 0,5 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,968, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?

80. На курсах повышения квалификации бухгалтеров преподаватель предлагает пакет из 10 накладных, 3 из которых содержат ошибки. Из пакета наудачу выбирают 6 накладных. Найти вероятность того, что среди извлечённых накладных: а) хотя бы одна с ошибками; б) хотя бы две с ошибками.

81. Рекламное агентство получило приглашение принять участие в конкурсе на выполнение работ от двух компаний. Вероятность получения заказа от фирмы А – 0,45. Если агентство заключит договор с компанией А, то вероятность получения заказа от компании В будет равна 0,9. С какой вероятностью компания получит оба заказа?

82. Вероятность получения фирмой кредита в банках №1, №2, №3 соответственно равны 0,4, 0,8, и 0,5. Для получения кредита было решено обратиться во второй банк, а в случае отказа – в третий и, наконец, в первый, если откажут в третьем. Какова вероятность получения кредита? Изменится ли вероятность получения кредита при другом порядке обращения?

83. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета.

84. На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует?

85. При включении зажигания двигатель начнёт работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнёт работать при третьем включении зажигания; б) для запуска двигателя придётся включать зажигание не более трёх раз.

86. В данной местности среднее число дождливых дней в августе равно 10. Найти вероятность того, что в первые два дня августа не будет дождя?

87. В урне лежат 5 чёрных шаров, 4 красных и 3 белых шара. Последовательно извлекают 3 шара, причём каждый раз шар возвращается в урну перед тем, как извлечь следующий. Найти вероятность того, что первый шар окажется чёрным, второй – красным, третий – белым. Как изменится вероятность этого события, если шар в урну не возвращается?

88. Работа электронного устройства прекратилась вследствие выхода из строя одного из пяти блоков. Производится последовательная замена каждого блока новым до тех пор, пока устройство не начнёт работать. Какова вероятность того, что придётся заменить: а) два блока; б) три блока.

89. Партия товара состоит из 40 костюмов четырёх размеров (по 10 костюмов каждого размера). Какова вероятность того, что четыре наугад взятых костюма будут разных размеров?

90. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент из предложенных ему экзаменатором трёх вопросов знает: а) все три; б) два; в) не более одного.

91. Вероятность того, что выпускник финансового факультета защитит диплом на «отлично» , равна, 0,6. Вероятность того, что он защитит диплом на «отлично» и получит приглашение на работу в банк, равна 0,4. Предположим, что студент защитил диплом на «отлично». Найти вероятность того, что он получит приглашение на работу в банк.

92. Вероятность снижения процентной ставки кредитования более чем на 0,5 % в течение определённого периода равна 0,25. Вероятность увеличения объёма выпуска продукции при условии снижения процентной ставки кредитования более чем на 0,5 % за тот же период равна 0,72. Чему равна вероятность того, что процентная ставка кредитования снизится, а выпуск продукции увеличится.

93. Обследование 150 семей показало, что 90 семей имеют импортный телевизор, 60 – отечественный, 30 имеют отечественный и импортный телевизоры. Найти вероятность того, что: а) семья имеет отечественный и импортный телевизоры; б) если семья имеет импортный телевизор, то она имеет и отечественный.

94. Исследования, проводимые социологами, показали, что среди 250 опрошенных 160 – с высшим образованием, 180 – в возрасте до 30 лет, из них 126 – с высшим образованием. Найти вероятность того, что: а) опрошенный человек имеет высшее образование и моложе 30 лет; б) если опрошенный до 30 лет, то он имеет высшее образование.

95. Заведующий рекламным отделом журнала оценивает вероятность того, что подписчик прочтёт некоторую рекламу, как 0,4, а вероятность того, что он после этого купит рекламируемый товар, как 0,01.

а) Используя эти оценки, найти вероятность того, что подписчик прочтёт рекламу и купит рекламируемый товар.

б) Предположим, что вероятность прочтения рекламы лицом, не являющимся подписчиком журнала, равна 0,03, причём, если он это сделает, то вероятность покупки им рекламируемого товара равна 0,08. Какова вероятность того, что случайно выбранный человек прочтёт рекламу и купит товар?