Энергетическое условие пластичности

Согласно условию постоянства максимального касательного напряжения (2) переход тела из упругого состояния в пластическое определяется только разностью максимального σ₁ и ми­нимального σ₃ напряжений и не зависит от величины среднего напряжения σ₂

Губер (1904 г.), Мизес (1913 г.), Генки (1924 г.) предло­жили новое условие пластичности, имеющее несколько форму­лировок. Одна из формулировок следующая: пластическая деформация наступит тогда, когда интенсивность напряжений достигнет величины, равной пределу текучести (сопротивлению деформации) при линейном напряженном состоянии

(3)

Учитывая, что при линейном напряженном состоянии σ₂ = σ₃ = 0 интенсивность напряжения σ_iлин = σ_т и при переходе из упругого состояния в пластическое

( = ) можно записать: σ_{iобъемн} = σ_iлин

Следовательно, это условие пластичности можно назвать условием постоянства интенсивности напряжений.

Выше было выведено выражение для интенсивности каса­тельных напряжений (октаэдрических напряжений):

(4) или

При линейном напряженном состоянии интенсивность каса­тельного напряжения

При наступлении пластической деформации = _{, тогда} τ_{iобъемн} = τ_iлин

Следовательно, условием пластичности является также постоянство интенсивности касательных напряжений или усло­вие постоянства октаэдрических напряжений.

Выражение (3) записывают обычно в такой форме:

(4)

и называют условием пластичности или уравнением Губера — Мизеса — Генки. Это условие пластичности учитывает влияние среднего главного напряжения σ₂ на условие перехода упругой деформации в пластическую. Если в выражении (4) разности главных напряжений заменить главными касательными напря­жениями, то получаем

(5)

т. е. сумма квадратов главных касательных напряжений равна половине квадрата — сопротивления деформации.

На основании выражения (1.32а) можно написать

Условие пластичности в произвольных осях координат записывается так:

(6)

3. Частные выражения условия пластичности

При обработке металлов давлением, как было указано, встречаются частные виды напряженного и деформированного состояний — плоское напряженное, плоское деформированное, осесимметричное. Ввиду сложности условий пластичности (2.3) и (2.4) при решении практических задач обычно объемное на­пряженное состояние приближенно принимают соответствующим одному из этих видов. Это упрощает математическое выражение условия пластичности.

Для анализа условия пластичности в главных напряжени­ях (2.6) введем безразмерную величину — направляющий тензор напряжения:

(7)

В теории пластичности применяют также величину, назы­ваемую направляющим тензором деформации,

(7,а)

П одставим значение _σ2 в условие пластичности

(8)

Обозначим коэффициент при в выражении (8) буквой (9)

Тогда условие пластичности можно записать в такой форме:

(10)

При данных значениях главных на­пряжений и среднее напряжение может изменяться в пределах между ними:

П ри этом будут изменяться коэффициенты и Так, если

Коэффициент называют коэффициентом Лоде по имени ученого, экспериментально проверившего уравнение пластич­ности. Изменение коэффициента в зависимости от изменения при данных положительных значениях и представлено на рис. 25.

Таким образом, при плоском деформированном состоянии уравнение пластичности имеет вид:

Для создания одноосного напряженного состояния проводят испытание на растяжение, сжатие и кручение стандартных образцов. Испытание образцов на растяжение проводят в холодном состоянии, когда достаточно велико деформационное упрочнение. Индикаторная диаграмма и диаграмма условных напряжений при растяжении показана на рис.5.1.

Рис.5.1. Диаграмма растяжения цилиндрического образца ( ): – предел пропорциональности; – предел упругости; – предел текучести; – временное сопротивление (или предел прочности).

Величина σ_S не зависит от приложенного гидростатического давления, по крайней мере, при σ_S < 1000 МПа и если для металла справедливо условие текучести Мизеса, то сопротивление деформации при сложном напряженном состоянии есть интенсивность касательных напряжений Т_S , вызывающая стабильное пластическое течение при заданных параметрах деформирования. Так как

то при одноосном растяжении ; при кручении тонкостенных трубчатых образцов Т_S = τ_S, где τ_S – напряжение течения при кручении. Поскольку величины σ_S ,Т_S ,τ_S - напряжения, вызывающие стабильное пластическое течение, то устанавливают функциональную связь этих истинных напряжений с пластическими деформациями ε_пл , Г_пл и γ_пл соответственно.

Диаграммы истинное напряжение – деформация типа σ – ε, Т – Г, τ – γ строят для полных деформаций ε, Г. и γ, состоящих из упругой и пластической (остаточной) составляющих.

Сопротивление деформации или напряжение течения является важной механической характеристикой деформируемого металла, т.к. оно определяет во многом энергосиловые и кинематические параметры всего процесса. Энергосиловые параметры практически линейно зависят от величины сопротивления деформации.

Величина Т_S или σ_S зависит от типа кристаллической решетки; химического состава и структуры металла; степени деформации; температурно-скоростных условий деформирования; истории развития деформаций во времени; геометрического фактора; внешней среды.

Авторы работы «Основы теории ОМД» (И. И. Иванов, А. Е Шелест и др.) полагают, что основными из приведенных параметров являются температурно-скоростные условия и степень деформации (рис.5.2)

Рис.5.2. Влияние степени деформации (а), температуры (Т) и скорости деформации (в) на сопротивление деформации.

Влияние скорости деформации и температуры на диаграмму напряжений изучается на специальных испытательных машинах— пластометрах, позволяющих проводить растяжение или сжатие образцов при постоянной скорости деформации. Методика испытаний, а также с результаты исследования механических свойств многих сталей и сплавов достаточно подробно изложена в справочниках.

Условная и истинная диаграмма напряжений. Вид диаграммы растяжения в координатах Р—∆l зависит не только от свойств материала, но и от размеров испытуемого об­разца. Чтобы получить диаграмму, характеризующую только механические свойства материала, первичную диаграмму растяже­ния пересчитывают в координатах σ—ε. Ординаты такой диа­граммы получают делением растягивающей силы Р на первона­чальную площадь поперечного сечения F₀ испытуемого образца:  = Р/ F₀. Абсциссы диаграммы напряжений получают делением абсолютных удлинений расчетной части образца на первоначальную ее длину ε = l/l₀. Полученный таким образом график зависимости напряжений от деформаций не учитывает изменения площади поперечного сече­ния образца, поэтому он называется условной диаграммой напря­жений в отличие от истинной диаграммы напряжений, при построении которой силу Р делят на текущую площадь F поперечного сечения. На рис.5.3 приведены условная (сплошная линия) и истинная (штриховая линия) диаграммы напряжений для низкоуглероди­стой стали. На каждой из них можно отметить ряд характерных точек: А, В, С, D, Е, F. Вначале на участке ОА диаграмма представляет собой на­клонную прямую. В этих пределах напряжения σ растут пропорционально деформациям ε, т. е. соблюдается закон Гука: σ = Еε (Е — модуль упругости при растяжении до предела пропорциональности σ_пр. Выше точки А диаграмма искривляется, закон Гука нарушается. Однако вплоть до точки В, соответствующей пределу упругости σ_уп, деформация образца остается упругой и полностью исчезает при снятии нагрузки. Точка В находится вблизи точки А, поэтому их часто считают совпадающими. Если через точку В провести вертикальную линию, то левее этой линии на диаграмме будет зона упругих, а правее — зона упруго-пластических деформаций, так как там наряду с упругими будут иметь место и остаточные пла­стические деформации, не исчезающие при разгрузке. Начиная от точки С на диаграмме имеется горизонтальный уча­сток, которому соответствует предел текучести σ_s. На этом участке деформации растут без увеличения нагрузки — материал как бы «течет». Поэтому участок CD часто называют площадкой текучести. Наличие площадки текучести для материалов не является характерным. Во многих случаях при испытаниях на растяжение площадка CD не обнаруживается и диаграмма растяжения имеет вид кривых, показанных на рис.5.7,б. В этом случае предел текучести σ_s определяют условно как напряжение, при котором остаточная деформация составляет заданную величину ε^е = ε_ост.= 0,2%. Начиная с точки D материал вновь приобретает способность увеличивать сопротивление дальнейшей деформации, однако возрастание нагрузки при удлинении образца происходит гораздо медленнее, чем на упругом участке. Диаграмма изменяется по плавной кривой с наивысшей точкой Е, в которой условное напряжение (σ₀ = Р/F₀) принимает наибольшее значение, достигая временного сопротивления σ_в.

а б

Рис.5.3 Диаграммы напряжений материала с площадкой текучести (а) и материала без площадки текучести (б).

После достижения точки Е на образце намечается место будущего разрыва и образуется шейка — локальное сужение образца. На диаграмме условные напряжения падают, что связано с уменьшением поперечного сечения образца. Однако если подсчитать истинное напряжение, отнесенное к наименьшей площади сечения шейки, то обнаружится возрастание напряжений до момента разрушения (точка F'). Следует отметить, что процесс образования шейки сопровождается неоднородностью деформации как от сечения к сечению, так и в каждом сечении в шейке и характеризуется схемой всестороннего растяжения (рис.5.4).

Рис.5.4. Схема напряженного состояния в шейке образца при растяжении.

На рис.5.5 показаны диаграммы напряжений, построенные при растяжении и сжатии цилиндрических образцов.

Рис.5.5. Диаграммы напряжений, построенные при растяжении и сжатии цилиндрических образцов.