Подставив (1) в (6), получим

y= E x²= x².

Траектория движения электрона не зависит от его заряда и массы. Частицы с любыми зарядами и массами будут двигаться по одним и тем же траекториям. Следовательно, воздействуя на частицу только постоянным электрическим полем, определить величины её заряда и массы не представляется возможным.

Движение электрона в однородном магнитном поле

Пусть теперь электрон влетает со скоростью v₀ в область пространства, в котором имеется однородное магнитное поле, вектор индукции которого B перпендикулярен направлению скорости (рис.2).

Н а электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца

F_л= –e[v, B].

Сила Лоренца не совершает работы, ибо она всегда перпендикулярна направлению скорости:

dA=F_лv=0.

Это значит, что энергия электрона и величина его скорости не меняются. Ускорение, создаваемое силой Лоренца

а_ц= = v₀B,

постоянно по величине и перпендикулярно вектору скорости. Следовательно, в магнитном поле электрон движется по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору В.

Учитывая, что

а_ц =

найдём величину радиуса окружности

r = . (7)

Если электрон получил скорость v₀, пройдя путь между обкладками конденсатора с разностью потенциалов U₀, то, подставив (1) в (7), получим:

r = = . (8)

Если поставить на пути движения электронов анод А, то электроны соберутся на аноде только при определённой величине отношения . Чтобы на анод попали частицы с другим удельным зарядом, отношение должно быть иным. На этом принципе построен масс-спектрометр – прибор, позволяющий измерять массы ионов атомов и молекул.

Движение электрона во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитных полях

Рассмотрим теперь движение электрона в кольцевом пространстве, заключённом между цилиндрическим катодом К и коаксиальным с ним цилиндрическим анодом А двухэлектродной электронной лампы (рис. 3). Источником электронов служит катод, нагретый до высокой

температуры. Между катодом и анодом создаётся радиальное электрическое поле Е. Лампа помещена внутри соленоида, создающего однородное магнитное поле В, параллельное катоду. Такая конфигурация электрического и магнитного полей подобна конфигурации полей в магнетронах – генераторах мощных электромагнитных колебаний в области сверхвысоких частот (> 10⁹Гц).

Первые эффективно работающие многорезонаторные магнетронные генераторы СВЧ были созданы в 1936–1937 гг. Н.Ф. Алексеевым и Д.Е. Маляровым. В настоящее время область их применения чрезвычайно широка – от мощных радиолокаторов до кухонных СВЧ печей.

Для описания траектории движения электронов в лампе воспользуемся цилиндрической системой координат. Положение электрона определяется расстоянием r от оси катода, полярным углом  и смещением z вдоль оси катода (рис.3). Вектор напряжённости электрического поля в цилиндрическом конденсаторе, образованном катодом и

и анодом лампы

Е = – (9)

где U_A – разность потенциалов (напряжение) между анодом и катодом, r_a – радиус анода, r_к – радиус катода и r – расстояние от оси катода до исследуемой точки.

Вектор кулоновской силы, действующей на электрон, перпендикулярен катоду лампы и направлен по радиусу

F_к= –еЕ.

Сила Лоренца, действующая на электрон

F_л= –e[v, B],

перпендикулярна вектору B индукции магнитного поля. Электроны, покидающие поверхность катода, под действием этих сил будут совершать движение по траекториям, лежащим в плоскостях (r, ), перпендикулярных оси z катода.

Траектории электронов в цилиндрическом магнетроне имеют сложную форму (рис.4). В отсутствие магнитного поля электроны движутся прямолинейно вдоль радиусов. В слабом поле траектории электронов несколько искривляются. При некотором критическом значении индукции магнитного поля B_кр траектории искривляются настолько, что только касаются анода. Наконец, при B>B_кр электроны не достигают анода и возвращаются на катод.

Как видно на рис.4, электрон одновременно участвует в двух видах движения: вдоль радиуса со скоростью

v_r =

и вращательном движении с угловой скоростью

 = .

Вектор ω параллелен вектору индукции магнитного поля B и направлен вдоль оси z введённой цилиндрической системы координат.

Для описания движения электрона в плоскости (r,) используем основное уравнение динамики: скорость изменения момента импульса электрона равна моменту действующей на него силы:

(10)

Момент импульса электрона

L=Jω, (11)

где J=mr² – момент инерции электрона относительно оси z. Момент силы, действующей на электрон

M=[rF]. (12)

Сила F является равнодействующей сил Лоренца и Кулона (рис.5):

F=F_л+F_к= – e[vB] – eE. (13)

Подставим (13) в (12):

M= –e[r[vB]] – e[rE].

Векторное произведение [rE] =0, так как векторы r и E параллельны.

Двойное векторное произведение преобразуем в соответствии с формулой [a[bc]] = b(ac) – c(ab):

M = –e[r[ B]] = –e (rB)+eB(r ). (14)

Первое скалярное произведение (rB) = 0, поскольку векторы r и B взаимно ортогональны. Подставим (11) и (14) в формулу (10)

(mr²ω) ₌ eB(r ).

Учитывая, что скалярное произведение

(r ) = = ,

получим:

(mr²ω) ₌

или в проекции на ось z:

(mr² – ) = 0.

Выражение в скобках является величиной постоянной, не зависящей от t:

mr² – = c. (15)

Постоянную интегрирования с найдём из начального условия: в момент вылета электрона с катода r=r_к и =0:

c= – .

Из (15) следует, что угловая скорость электрона возрастает по мере его удаления от катода

 = . (16)

Для нахождения линейной скорости электрона v используем закон сохранения энергии. При перемещении от катода до точки с потенциалом U он приобретает скорость (см. выражение (1)):

v = (17)

(начальной скоростью электрона в момент его выхода из катода пренебрегаем, поскольку энергия теплового движения электронов при температуре катода Е≈1000К составляет kT=1,38∙10^-23Дж∙К^-1∙1000К= =1,38∙10^-20Дж ≈ 0,1эВ).

Теперь найдём критическое значение индукции магнитного поля B_кр. Скорость электрона в точке касания его траектории с поверхностью анода

v_а = r = r_a_a. (18)