1.5. Принципы Архимеда и Кантора

Теорема 1.5.1. Для любого действительного числа существует натуральное число такое, что .

Доказательство. Доказательство теоремы проведем методом “от противного”. Предположим, что существует действительное число такое, что для любого натурального числа справедливо неравенство . Значит множество всех натуральных чисел ограничено. Тогда это множество по теореме 1.4.1. имеет верхнюю грань. Пусть . Тогда, из определения верхней грани следует, что для существует натуральное число такое, что . Но, тогда для натурального числа справедливо неравенство . Это противоречит тому, что . Из противоречия следует утверждение теоремы. 

Следствие (принцип Архимеда). Для любых положительных чисел и существует натуральное число такое, что .

Доказательство. По теореме 1.5.1. существует натуральное число такое, что . Это число и является искомым.

Определение. Системой вложенных числовых отрезков называется такое множество этих отрезков, в котором для любых отрезков и справедливо одно из условий или .

(Обычно системой множеств называют множество, элементами которого являются множества.)

Теорема 1.5.2 (принцип Кантора). Все отрезки из системы вложенных отрезков имеют общую точку.

Доказательство. Пусть и – произвольные отрезки этой системы. Тогда справедливо одно из соотношений или .

Отсюда следует, что или .

Поэтому, справедливы неравенства .

Или, другими словами, левый конец любого отрезка системы является нижней границей множества правых концов отрезков этой системы.

Тогда из теоремы 1.4.1.а следует, что для всех отрезков системы существует число системы – нижняя грань множества правых концов отрезков этой системы. Так как нижняя грань множества – наибольшая из нижних границ и не больше элементов этого множества, получим .

Это значит, что число принадлежит всем отрезкам системы . Теорема доказана. 

Замечание. Так же как при доказательстве теоремы 1.5.2 показывается, что верхняя грань левых концов отрезков системы вложенных отрезков принадлежит всем этим отрезкам.

1.6. Принцип математической индукции

Выражение при первых 39 натуральных является простым числом, а при это не простое число. К доказательству справедливости утверждений, содержащих натуральный аргумент мы и переходим.

Принцип математической индукции (ПМИ) состоит в следующем: для справедливости любого утверждения , высказанного для всех натуральных чисел , достаточно:

1) доказать истинность ;

2) и доказать истинность импликации

На самом деле, из формулировки ПМИ следует, что область истинности предиката является индуктивным множеством (см. п. 1.2.), а значит, содержит множество натуральных чисел.

Здесь утверждение первого пункта называется базой, а второго – индуктивным переходом.

Замечание. Методом математической индукции можно доказывать утверждения, справедливые и при , где . В ходе доказательства надо заменить первый шаг: доказать утверждение при , а все остальное оставить, как и прежде, при необходимости пользуясь тем, что .

В качестве примера применения ПМИ докажем полезную для нас формулу бинома Ньютона.

Произведение натуральных чисел обозначим ( читается: эн-факториал). Будем считать .

В, частности, имеем , , , и т.д.

Теорема 1.6.1. Для любого натурального числа справедлива формула (формула бинома Ньютона)

.

(Коротко эту формулу можно записать так:

, где - биномиальный коэффициент. )

Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции.

1. При формула верна: , поскольку

.

База получена.

2. Докажем, что, если , то

Сначала докажем вспомогательное утверждение о биномиальном коэффициенте: при имеем

.

Действительно,

.

Далее, получаем

Индуктивный переход является истинным.

Значит, теорема доказана. 

Замечание. Подобным образом доказывается и формула для полинома Ньютона от неизвестных вида

,

где - целые положительные числа.

Для наглядного представления значений биномиальных коэффициентов применяют таблицу, называемую треугольником Паскаля:

Каждый внутренний элемент этой таблицы получается как сумма элементов, стоящих левее и правее строкой выше.

Рассмотрим некоторые свойства биномиальных коэффициентов, которые хорошо просматриваются в треугольнике Паскаля:

1) свойство, используемое при построении треугольника Паскаля:

;

2) количество элементов в строке (в разложении бинома степени n) на единицу больше показателя степени бинома;

3) сумма биномиальных коэффициентов в любой строке равна 2n, то есть ;

4) , так как

Это свойство означает, что таблица Паскаля симметрична относительно своей центральной линии, или, другими словами, равноотстоящие от краев элементы строки одинаковы: нулевой элемент равен последнему ; первый элемент равен предпоследнему и т.д.

5) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетныx местах;

6) каждый элемент строки равен предшествующему, умноженному на коэффициент, равный , то есть . В самом деле,

При изложении теории пределов последовательности нам потребуется приводимое ниже неравенство Бернулли.

Теорема 1.6.2. При , и при целом справедливо неравенство (неравенство Бернулли) .

Доказательство (по индукции).

1) Сначала убедимся, что при неравенство является верным. Действительно, .

2) Докажем индуктивный переход:

, где .

На самом деле

Теорема 2 доказана. 