1.2. Понятие абсолютной величины вещественного числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называется число, обозначаемое символом , которое находится по правилу:

Абсолютная величина действительного числа обладает следующими свойствами:

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7. 8.
9.

1.3. Некоторые подмножества множества действительных чисел

Во множестве действительных чисел выделяют четыре подмножества, играющих достаточно самостоятельную роль. Речь идет о множествах натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел. Эти числа мы введем не так как в школе.

Определение 1. Множество называется индуктивным, если выполняются два условия

1) ;

2) для любого элемент также принадлежит .

Например, множество индуктивно.

Пересечение любого количества индуктивных множеств является индуктивным множеством (доказать самостоятельно).

Определение 2. Пересечение совокупности всех индуктивных множеств называется множеством натуральных чисел и обозначается . Элементы множества называются натуральными числами.

Определение 3. Множество называют множеством целых чисел.

Определение 4. Число называется рациональным, если существуют такие целые и , что . Множество всех рациональных чисел обозначается символом .

Определение 5. Действительное число не принадлежащее , называется иррациональным.

Определение 6. Открытым промежутком, или интервалом с началом в точке и концом в точке называется множество действительных чисел таких, что . Интервал с началом в точке и концом в точке обозначается символом или .

Определение 7. Замкнутым промежутком, или отрезком с началом в точке и концом в точке называется множество действительных чисел таких, что . Отрезок с началом в точке и концом в точке обозначается символом .

Определение 8. Полуоткрытыми промежутками являются множества: или

Определение 9. Открытым (замкнутым) положительным лучом с началом в точке называется множество действительных чисел таких, что ( ).

Определение 10. Открытым (замкнутым) отрицательным лучом с началом в точке называется множество действительных чисел таких, что ( ).

Дополним множество вещественных чисел тремя новыми объектами (бесконечными числами): .

Определение 11. Числом будем называть новое число, которое, будем считать, принадлежит всем отрицательным лучам. И при этом выполняется неравенство .

Определение 12. Числом будем называть новое число, которое, будем считать, принадлежит всем положительным лучам. И при этом выполняется неравенство .

Определение 13. Числом будем называть новое число, которое является парой чисел .

Действительные числа изображаются точками прямой (числовой прямой). Поэтому мы часто числа будем называть точками.

Определение 14. Пусть . окрестностью числа (точки) называется множество

.

Определение 15. Проколотой окрестностью числа (точки) называется множество

Определение 16. окрестностью числа (точки) называется множество

Определение 17. окрестностью числа (точки) называется множество

Определение 18. окрестностью числа (точки) называется множество