Упражнения для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ;

Решить неравенства:

1) ; 2) ; 3) ;

4) 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Логарифмическая функция

Определение логарифма, свойства логарифмов

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Функция вида , где a – заданное число (a > 0, a 1), нaзывается

логарифмической.

Свойства логарифмической функции

1. Область определения функции - множество всех положительных чисел (х>0).

2. Область значений функции - множество R всех действительных чисел. З. Монотонность функции: если a > 1, то функция является возрастающей; если 0< a < 1,то функция является убывающей.

4. График логарифмической функции расположен правее оси Оу и проходит через точку (1; 0).

Пример: Решить графически уравнение

Решение: Построим графики функций и на одной координатной плоскости. Графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой х = 1. Проверка показывает, что х = 1 – корень данного уравнения.

Ответ: х = 1.

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения — это уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма и (или) в его основании.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида log x = b, где a и b — данные числа, x — неизвестное. Уравнение имеет решение, если a > 0, a ≠ 1: x = a . Решение более сложных логарифмических уравнений обычно сводится либо к решению алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида log x = b.

Основные способы решения логарифмических уравнений:

1. равносильные преобразования

2. переход к уравнению-следствию

3. замена переменной

4. разложение на множители

Примеры решения логарифмических уравнений

1. log (x - 3x + 6) = 2

По определению логарифма, x - 3x + 6 = x , из чего следует, что x = 2.

Проверка: log (x - 3x + 6) = log (2 - 6 + 6) = 2

Ответ: x = 2

2. log (3x + 4) = log (5x + 8)

Приравнивая выражения, стоящие под знаком логарифма, получаем 3x + 4 = 5x + 8, откуда x = -2.

Выполняя проверку, убеждаемся, что при x = -2 левая и правая части исходного уравнения не имеют смысла.

Ответ: корней нет.

3. log (х + 1) + log (х + 3) = 3 (1).

По свойствам логарифма получаем равенство log (х + 1)(х + 3) = 3 (2).

По определению логарифма из этого равенства получаем:

(х + 1)(х + 3) = 8, откуда х + 4х + 3 = 8, т.е. х + 4х – 5 = 0.

Последнее равенство верно, если х = 1 или х = -5. Проверим, являются ли полученные числа корнями уравнения (1). Подставляем х = 1 в левую часть данного уравнения и получаем log (1 + 1) + log (1 + 3) = log 2 + log 4 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 – корень уравнения (1).

При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения (1) смысла не имеет, то есть х = -5 не является корнем рассматриваемого уравнения.

Ответ: х = 1.

4. log (1 – х) = 3 – log (3 – х).

1) Перенесем логарифм из правой части в левую: log (1 – х) + log (3 – х) = 3, откуда log (1 – х)(3 – х) = 3 → (1 – х)(3 – х) = 8.

2) Решим полученное уравнение. Получим х = 5, х= -1.

3) Проведем проверку корней уравнения. Число х = 5 не является корнем исходного уравнения, так как при х = 5 теряют смысл левая и правая части уравнения. Число х = -1 является корнем исходного уравнения.

Ответ: х = -1.