Свойства прямых, параллельных плоскости

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то данная прямая и линия пересечения плоскостей будут параллельны.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны три случая расположения прямых в пространстве.

1. прямые пересекаются (общих точек – одна, лежат в одной плоскости)

2. прямые параллельны (общих точек – нет, лежат в одной плоскости)

3. прямые скрещиваются (общих точек – нет, лежат в одной плоскости)

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема (признак скрещивающихся прямых)

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Параллельность плоскостей

По аксиоме А плоскости пересекаются по прямой. Но возможен ещё один случай взаимного расположения двух плоскостей, если они не имеют общей точки. Такие плоскости называются параллельными.

Теорема (признак параллельности плоскостей)

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум

пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Упражнения для самостоятельного решения

ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Сделайте чертежи по заданным условиям:

1. Прямая лежит в плоскости .

2. Прямая пересекает плоскость в точке .

3. Плоскость проходит через прямую и точку , не лежащую на прямой , и не пересекает прямую в точке .

4. Прямые и пересекают плоскость в одной и той же точке.

5. Прямые и пересекают плоскость в разных точках.

6. Прямые и , изображённые на рисунке параллельными, на самом деле не параллельны.

7. Прямые и , изображённые на рисунке пересекающимися, на самом деле не имеют общих точек.

8. Плоскости и имеют общую прямую и пересекают прямую соответственно в точках и .

9. Плоскости и пересекаются по прямой , а плоскости и также пересекаются по этой же прямой .

10. Плоскости и пересекаются по прямой , а плоскости и пересекаются по другой прямой .

11. Прямые , , и имеют общую точку и лежат в одной плоскости.

12. Прямые , , и имеют общую точку , но не существует плоскости, в которой лежат все эти три прямые.

13. Плоскости и имеют единственную принадлежащую всем трём плоскостям точку .

14. Прямые и таковы, что не лежит в плоскости , а точка не лежит на прямой .

Тесты: «Параллельность в пространстве»

Задание 12-1

Дополните предложения:

I. Прямая лежит в плоскости, если она с плоскостью …

1. имеет две общие точки

2. не имеет общих точек

3. имеет одну общую точку

II. Прямая пересекает плоскость, если она имеет с плоскостью …

1. только одну общую точку

2. две общие точки

3. не имеет общих точек

Задание 12-2

I. Сколько существует различных случаев взаимного расположения прямой и плоскости

1. два 2. три 3. четыре

II. Известно, что прямая параллельна плоскости.

Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?

1. да 2. нет

Задание 12-3

Верны ли утверждения?

I. Прямая пересекает плоскость, если она с плоскостью имеет две общие

точки

1. да 2. нет

II. Существует только два различных случая взаимного расположения прямой и плоскости

1. да 2. нет

Задание 12-4

Верны ли утверждения?

I. Прямая и плоскость называются параллельными, если они имеют две общие точки или прямая лежит в плоскости

1. да 2. нет

II. Прямая и плоскость не могут иметь общей точки

1. да 2. нет

Задание 12-5

Дополните предложения:

I. Прямая и плоскость называются параллельными, если они …

1. не имеют общей точки

2. не имеют общей точки или прямая лежит в плоскости

II. Прямая и плоскость

1. могут не иметь общей точки

2. не могут иметь общей точки

Задание 12-6

Верны ли утверждения?

I. Прямая пересекает плоскость, если она с плоскостью имеет

две общие точки

1. да 2. нет

II. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?

1. нет 2. да

Задание 12-7

Верны ли утверждения?

I. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей пересекает данную прямую.

1. да 2. нет

II. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны

1. да 2. нет

Задание 12-8

Верны ли утверждения?

I. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то плоскости параллельны.

1. да 2. нет

II. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общей точки

1. да 2. нет

Задание 12-9

Дополните предложения:

I. Две плоскости называются параллельными, если они …

1. не имеют общей точки

2. совпадают

II. Если две … прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. параллельные 2. пересекающиеся 3. совпадающие

Задание 12-10

I. Сколько существует различных случаев взаимного расположения прямой и плоскости

1. два 2. три 3. четыре

II. Прямая и плоскость

1. могут не иметь общей точки

2. не могут иметь общей точки

Задание 12-11

Верны ли утверждения?

I. Прямая и плоскость называются параллельными, если они имеют общие точки.

1. да 2. нет

II. Если прямая параллельна какой-либо прямой, пересекающей плоскость, то данные прямая и плоскость параллельны.

1. да 2. нет

Задание 12-12

Дополните предложения:

I. Прямая лежит в плоскости, если она с плоскостью …

1. имеет две общие точки

2. не имеет общих точек

3. имеет одну общую точку

II. Две плоскости называются параллельными, если они не

имеют общей точки

1. да 2. нет

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Взаимное расположение прямой и плоскости

В тетраэдре точка - середина ребра , - середина ребра , - середина , - середина ребра .

Сделайте рисунок по условию задачи и заполните таблицу, выбрав в ней нужное обозначение расположения данных прямой и плоскости:

А – пересекаются; Б – параллельны; В – прямая лежит в плоскости; Г – невозможно определить.

	Прямая и плоскость	Взаимное расположение
1	и	А	Б	В	Г
2	и	А	Б	В	Г
3	и	А	Б	В	Г
4	и	А	Б	В	Г
5	и	А	Б	В	Г
6	и	А	Б	В	Г
7	и	А	Б	В	Г
8	и	А	Б	В	Г