1.4 Законы распределения случайной величины. Нормальный закон

Случайные величины имеют разные законы распределения.

В некоторых задачах практики встречаются непрерывные случайные величины, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала; кроме того, известно, что в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (точнее, обладают одной и той же плотностью вероятности). О таких случайных величинах говорят, что они распределяются по закону равномерной плотности.

Непрерывная случайная величина Х, принимающая только положительные значения имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если

где - параметр показательного распределения, полностью определяющий его.

Интервал времени между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока. Например, наработка объекта на отказ (время до очередного выхода объекта из работоспособного состояния) распределяется по экспоненциальному закону с интенсивностью равной

где – среднее время между отказами.

Наибольший интерес при выполнении измерений представляет нормальный закон распределения (распределение Гаусса).

Нормальный закон распределения играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это - наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т. д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых - элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному.

Основное ограничение, налагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

.

Вероятность попадания случайной величины в интервал от a до b определяется зависимостью

(8)

или, используя т.н. функцию Лапласа ( ), значения которой табулированы (Прил. 1),

Для нормально распределенной случайной величины все рассеяние с точностью до 1% (99% реализаций величины) укладывается в интервале .

Нормальный закон описывает распределение случайной величины на интервале от до . Однако, как правило, интервал распределения случайной величины ограничен конкретными значениями величины a и b. В таком случае используется усеченный нормальный закон распределения , отличающийся множителем – нормирующим коэффициентом, который определяется по зависимости

. (9)