Министерство образования и науки, молодёжи и спорта Украины

ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра физики и химии

Лабораторная работа № 3.1

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

(Указания к лабораторной работе)

Cоставил проф. Михайленко В.И.

Утверждено на заседании кафедры, протокол № 2 от 29 сентября 2011 г.

  

Одесса - 2011

Лабораторная работа № 3.1

Затухающие колебания

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КОЛЕБАНИЙ

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются той или другой степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, которые характеризуют колебательную систему, повторяются через равные промежутки времени.

Время осуществления одного полного колебания называется периодом колебания – Т.

Частотой периодических колебаний называется величина , равная числу полных колебаний за единицу времени. Единица измерения частоты — 1 Герц — одно полное колебание за 1 секунду.

Циклической частотой периодических колебаний называется величина , которая равняется числу полных колебаний за 2 секунд.

1.2. Механические гармоничные колебания.

Периодические колебания величины называется гармоничными, если она изменяется по закону синуса или косинуса.

В дальнейшем мы будем рассматривать гармонические колебания, которые изменяются по закону косинуса

(1)

Здесь _o – циклическая частота гармонических колебаний; – амплитуда колебаний, т.е. максимальное по модулю значение колебательной величины ; – фаза; – начальная фаза колебаний.

Зная фазу колебаний, можно определить величину смещения x в данный момент времени. Начальная фаза колебаний показывает величину смещения от положения равновесия в начальный момент времени, т.е. при :

Дифференцируя уравнение (1) по времени, получим выражение для скорости

(2)

Выражение для ускорения получим, продифференцировав(2) по времени

(3)

или

(4)

Рис. 1.

Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение гармоничных колебаний.

Пример: колебания пружинного маятника. Пружинный маятник представляет собой тело массой , прикрепленное к абсолютно упругой пружине (рис. 1). При смещении тела на величину от положения равновесия соответственно закону Гука возникает сила упругой деформации:

(5)

Если после смещения тела от положения равновесия отпустить его, то маятник начнет выполнять колебания. Составим уравнение движения пружинного маятника. По второму закону Ньютона

Поскольку , то с учетом (5) получим

(6)

Сравнивая (6) и (4), мы видим, что пружинный маятник выполняет гармоничные колебания. При этом циклическая частота колебаний пружинного маятника

(7)

Много сил, которые не являются упругими по своей природе, также могут удовлетворять соотношению (5). Такие силы объединены общим названием квазиупругих. Квазиупругая сила пропорциональна смещению от положения равновесия и всегда направлена к положению равновесия. При этом параметр в (5) называют квазиупругой постоянной.

1.3. Затухающие колебания

В реальных условиях всегда происходит затухание механических колебаний, т.е. постепенное ослабление колебаний со временем, обусловленное потерей энергии колебательной системой вследствие трения и других причин.

Рассмотрим случай, когда колеблющееся тело находится в вязкой среде, а его скорость v небольшая. Тогда на тело действует сила сопротивления, равная

,

(8)

где — коэффициент сопротивления, который зависит от формы тела и вязкости среды.

Результирующая сила, которая действует на тело, равняется сумме квазиупругой силы и силы сопротивления:

.

Составим уравнение движения, используя второй закон Ньютона:

.

(9)

Принимая во внимание, что , , и поделив уравнение (9) на массу , получим:

.

Введем обозначение:

( – коэффициент затухания); (см. формулу (7));

_o – циклическая частота незатухающих колебаний.

Тогда

(10)

– дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Если пренебречь силами сопротивления (т.е. положить ), то уравнение (10) переходит в уравнение гармонических колебаний (4), которое имеет решение

,

где амплитуда .

Если же 0, но не слишком большое (т.е.   _o), то уравнение (10) имеет решение

, (11)

где

–

(12)

циклическая частота затухающих колебаний;

(13)

– амплитуда затухающих колебаний ( – начальная амплитуда).

Зависимости и для затухающих колебаний показаны на рис. 2.

Введем некоторые характеристики затухающих колебаний.

Период затухающих колебаний равняется

. (14)

Логарифмический декремент затухания численно равен натуральному логарифму отношения амплитуд затухающих колебаний, взятых через промежуток времени, равному периоду колебаний:

.

(15)

Рис. 2

Подставим (13) в (15):

(16)

Получили связь между логарифмическим декрементом затухания и коэффициентом затухания

Логарифмический декремент затухания характеризует скорость затухания: чем больше , тем быстрее затухают колебание.

Добротность колебательной системы пропорциональна отношению энергии системы в момент времени t к потерям энергии за время, равное периоду колебаний:

. (17)

Чем больше добротность системы, тем медленнее убывает ее энергия и, следовательно, тем дольше сохраняются колебания в системе.

Добротность системы и логарифмический декремент затухания связаны соотношениям

. (18)