1.2. Основной закон динамики вращательного движения

Пусть на материальную точку, которая вращается по окружности радиуса , действует сила  (рис.1). Разложим эту силу на две составляющие:

Рис. 1

.

Здесь - нормальная составляющая, которая направлена к центру окружности; - тангенциальная (или касательная) составляющая, направленная по касательной к окружности.

Нормальная составляющая силы вызовет появление нормального (или центростремительного) ускорения , которое характеризует быстроту изменения скорости по направлению:

.

Тангенциальная составляющая силы вызовет появление тангенциального ускорения , которое характеризует быстроту изменения скорости по численному значению. По второму закону Ньютона имеем:

.

(1)

Из рис.1 видно

.

(2)

Учитывая связь между линейным и угловым ускорениями, можем записать:

.

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1),получим:

(4)

Умножим полученное выражение на радиус :

(5)

Из рис.1 видно:

,

(6)

где - плечо силы. Плечом называется длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы.

Введем физическую величину – момент инерции материальной точки. Из (5) и (6) получаем:

.

Поскольку произведение силы на плечо есть момент силы , то последнее выражение можно записать в виде:

.

(7)

Мы получили основной закон динамики вращательного движения:

МОМЕНТ СИЛЫ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ НА УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ.

Основной закон динамики вращательного движения (7) аналогичен второму закону Ньютона

.

(8)

Из сопоставления (7) и (8) видно, что во вращательном движении момент инерции играет такую же роль, как и масса в поступательном движении. Поскольку масса есть мера инертности тела при поступательном движении, то по аналогии с этим можно дать следующее определение момента инерции:

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ЕСТЬ МЕРА ИНЕРТНОСТИ ТЕЛА ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ.

В общем случае момент инерции тела относительно некоторой оси можно рассчитать как сумму моментов инерции материальных точек, на которое разбивается тело:

,

(9)

где - расстояние от k-ой материальной точки до оси вращения.

Рис. 2.

Момент инерции зависит от распределения масс в теле и положения оси вращения. Тела одинаковой массы, но различной формы имеют разные моменты инерции. Очевидно, что чем дальше от оси вращения отстоят материальные точки, тем больший вклад они вносят в момент инерции тела. Сравните, например, моменты инерции кольца и диска, которые имеют одинаковую массу и радиус, а ось вращения проходит через их центры (рис.2). Путем качественных рассуждений установите: у какого тела момент инерции больше?

Рассмотрим теперь зависимость момента инер­ции от положения оси вращения.

Ось вращения, проходящая через центр масс тела, называется соб­ственной осью. Момент инерции относительно оси, параллельной оси собственного вращения, можно рассчитать с помощью теоремы Штейнера:

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОСИ СОБСТВЕННОГО ВРАЩЕНИЯ, РАВЕН СОБСТВЕННОМУ МОМЕНТУ ИНЕРЦИИ ПЛЮС ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАССЫ ТЕЛА НА КВАДРАТ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ОСЯМИ:

,

(10)

Рис. 3.

где – собственный момент инерции, т.е. момент инерции относительно оси СС (рис.3), а – момент инерции относительно оси ОО.