Р исунок 6

2

3

С.1

4

С.1

5

С.1

6

С.1

7

С.1

8

С.1

9

С.1

Розділ III. Динаміка Завдання д

Завдання ДТ. ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

Завдання ДТ1. ПРЯМА, АБО ПЕРША, ОСНОВНА ЗАДАЧА

Визначити силу , діючу на матеріальну точку маси m, яка рухається шорсткою горизонтальною площиною вздовж осі Х, якщо задано кінематичне рівняння її руху у вигляді x=af(t). Сила нахилена до горизонту під кутом α.

Необхідні дані наведені в таблиці 7.

Необхідно знати:

1. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки в проекціях на декартові осі координат.

Необхідно вміти:

1. Брати похідні від різних функцій.

Приклад виконання завдання дт1

Матеріальна точка маси т рухається шорсткою горизонтальною площиною вздовж осі за рівнянням під дією сили що напрямлена під кутом до осі . Визначити значення сили в момент часу , якщо коефіцієнт тертя ковзання .

Дано: F-?

Рис. Д.1

Розв’язання. Матеріальну точку, в довільному положенні під час руху, показуємо у вигляді точки на (рис. Д.1). Прикладемо до неї активні сили F(t) і вагу P = mg ,силу тертя F_тр і реакцію в’язі N. Запишемо диференціальне рівняння прямолінійного руху матеріальної точки вздовж осі , (рис. Д.1), яку напрямимо в сторону руху точки: За умовами задачі кінематичне рівняння руху точки має вигляд

Візьмемо другу похідну по часу від лівої і правої часток цього рівняння:

(а)

Крім того маємо Силу тертя визначаємо з відомої формули отже Таким чином маємо

. (б)

Підставляючи (а) в (б) маємо при F=906,53 H.

Відповідь: F=906,53 H.

Завдання ДТ2. ОБЕРНЕНА, АБО ДРУГА, ОСНОВНА ЗАДАЧА

Варіант 1. Важке тіло рухається до низу по шорсткій площині з кутом нахилу  до горизонту. Тіло має початкову швидкість v₀ і за час t₁ проходить шлях S. Коефіцієнт тертя дорівнює  . Треба визначити величину, яка в таблиці 8 позначена знаком питання (?).

Необхідні дані наведено в таблиці 8.

Необхідно знати:

1. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки у проекціях на осі. координат.

2. Визначення постійних інтегрування за початковими умовами. задачі.

Необхідно вміти:

1. Проеціювати сили на осі. координат.

2. Інтегрувати диференціальні рівняння невизначеним інтегралом.

3. Визначати початкові умови з умов задачі.

4. Знаходити постійні інтегрування за початковими умовами.

Необхідно вміти:

1. Знаходити постійні інтегрування за початковими умовами.

Приклад виконання варіанта 1 завдання дт 2

Важке тіло масою m рухається вниз по шорсткій площині, яка нахилена під кутом до горизонту (рис. Д.2). Початкова швидкість тіла дорівнює . Коефіцієнт тертя

Визначити рівняння руху і шлях, який пройшло тіло за час t=2с.

Розв’язання. Приймемо тіло за матеріальну точку і розглянемо її рух під дією сил, прикладених до цього тіла.

Щоб правильно вказати схему сил, розглянемо з якими тілами взаємодіє дане тіло. Воно взаємодіє з похилою площиною і повітрям, опором якого нехтуємо. Сила взаємодії тіла з Землею є сила ваги P=mg. Реакція площини має дві складові: нормальну складову та силу тертя (рис. Д.2).

P

Рис. Д.2

Напрямимо вісь Ох паралельно траєкторії в бік руху тіла і складемо диференціальне рівняння руху матеріальної точки в проекції на вісь Ох: , тобто

.

Але за законом сухого тертя ,

тобто

,

або

. (a)

Звідси інтегруванням знайдемо Х як функцію часу t.

Враховуючи, що (а) запишемо у вигляді .

В результаті першого інтегрування невизначеним інтегралом матимемо:

.

Сталу інтегрування знайдемо з початкових умов: при t=0 =2м/с. Дістанемо . Отже,

.

Інтегруючи вдруге, з врахуванням що , тобто , матимемо

. (б)

Сталу інтегрування знайдемо з початкових умов: при t=0 x=0 (початок координат знаходиться в початковому положенні точки). Дістанемо . Після підстановки в (б) маємо рівняння

, (в)

яке є законом руху точки.

Для визначення шуканого шляху s за секунд, покладемо у рівнянні руху точки (в) t= , і

дістанемо

.

При матимемо .

Відповідь: рівняння руху ; шлях .

Варіант 2. Важке тіло D масою m рухається з початковою швидкістю з точки А вздовж трубки АВС, яка розташована у вертикальної площині і складається з двох відрізків: АВ і ВС (рис. Д.2´). На відрізку АВ на тіло діють сила ваги і постійна сила (її напрямок показаний на відповідних рисунках); тертям на ділянці АВ нехтуємо.

В точці В тіло D, не змінюючи своєї швидкості за величиною, переходить на відрізок трубки ВС, де на нього крім сили ваги , діє сила тертя з коефіцієнтом f=0,2 і змінна сила , проекція якої F_x на вісь х задани в таблиці 9.

Вважаючи тіло матеріальною точкою, а відстань AB=l, або час руху точки від А до В t=t₁ відомими, знайти рівняння руху тіла на відрізку ВС, тобто x=f(t), де х=ВD.

Необхідні дані наведені в таблиці 9; варіанти задачі на рис. 7.