Приклад виконання завдання к4

Прямокутний трикутник АВС обертається навколо свого катета АС рівносповільнено з кутовим прискоренням , при початковій кутовій швидкості ω₀=12 с^-1. По гіпотенузі АВ рухається точка М за законом АМ=S=20-5cos(πt/16) (S - в сантиметрах, t - в секундах). Знайти абсолютну швидкість і абсолютне прискорення точки М в момент часу t₁=4 с (рис. К.5).

Рис К.6

Д ано:

ω ₀=12 с^-1

ε=2с^-2

S=20-5(cosπt/16)см

t₁=4с

V _a-? а_a-?

Розв’язання

Оскільки точка М одночасно перебуває в двох рухах, то її рух розглядаємо як складний. Виберемо нерухому Oxyz і рухому O₁x₁y₁z₁ системи координат (рис. К.5). Рухома система зв’язана з трикутником що обертається (на рис. К.5 показана тільки вісь O₁x₁). Тоді переносним рухом буде обертання трикутника навколо катета АС, а відносним – прямолінійний рух точки вздовж катета АВ за законом S=S(t). Абсолютна швидкість точки М визначиться за формулою .

Переносну швидкість точки М визначимо як швидкість тієї точки гіпотенузи АВ трикутника, що обертається, з якою в даний момент часу співпадає рухома точка М. Визначимо положення точки М на гіпотенузі АВ при t = 4 с.

.

Переносна швидкість V_e=ω_eh, де ω_e - кутова швидкість обертання трикутника АВС при t= 4 с; h - найкоротша віддаль від точки М до осі обертання АС. При t = 4 с h=AMsin30⁰=8,23 см.

Оскільки обертання трикутника рівносповільнене, то ω_e визначимо за залежністю ω_e=ω₀-ε_et і при t = 4 с ω_e=4 c^-1. Тоді V_e=48,23=32,92 см/с.

Оскільки траєкторією переносного руху точки М в даний момент часу є коло радіуса h, то вектор буде напрямлений по дотичній до цього кола в сторону обертання. Якщо площину трикутника АВС при t = 4 с сумістити з площиною OYZ, то вектор . Відносна швидкість точки М визначиться методами кінематики точки і буде дорівнювати і при t = 4 с; V_r = 0,69 см/с.

Вектор напрямлений по гіпотенузі АВ в сторону збільшення S. Оскільки кут між векторами і дорівнює π/2, то модуль абсолютної швидкості буде дорівнювати

.

При непоступальному переносному русі абсолютне прискорення точки М в складному русі буде дорівнювати .

Оскільки переносний рух є обертальним, то переносне прискорення точки М визначиться за формулою: ,

де ; при t = 4 с ,

.

Вектор напрямлений до осі обертання трикутника вздовж радіуса h, а вектор - перпендикулярно до в сторону дугової стрілки кутового прискорення ε_e, яке протилежне ω_e так як обертання сповільнене.

При прямолінійному відносному русі, відносне прискорення точки М має тільки дотичну складову, яка дорівнює

. При t = 4 с, a_r= = 0,14 см/с² .

Вектори і мають при t = 4 с однакові знаки і тому співпадають за напрямком.

Модуль коріолісового прискорення визначиться за залежністю

.

Згідно з прийнятим напрямком обертання вектор буде напрямлений по осі обертання в сторону додатнього напрямку осі oz. Тому кут між і дорівнює 30⁰ і при t = 4 с коріолісове прискорення буде дорівнювати

.

Напрям вектора , згідно з правилом Жуковського, співпадає з напрямом вектора .

Для знаходження модуля абсолютного прискорення точки М скористаємося методом проекцій. Для цього введемо допоміжну систему координат Mx₂y₂z₂, осі якої напрямлені відповідно по дотичній до переносної траєкторії, по радіусу h і паралельно до осі обертання (рис. К.6). Отже,

;

;

.

Модуль абсолютного прискорення точки М

.

Відповідь: V_а=32,9 см/с; а_а=132,3 см/с².

Таблиця 1

№ варіанта	Вид рівнянь руху	f1(t)	f2(t)	а1,см	b1,см	а2, см	b2,см	j, рад	t1, сек.
01 02 03	x=a1f1(t)+b1 y=a2f2(t)+b2	sin2j sin2j sin j	cos2j cos2j sin j	2 1 -10	4 8 5	3 1 2	5 -3 4	(П/8)t (П/12)t (П/6)t	2 4 2
04 05 06	x=a2f1(t)+b2 y=a1f2(t)+b1	sin2j2 sin2j2 sin j2	cos2j2 cos j2 sin j2	3 5 -1	1 2 6	1 5 3	2 3 -1	(П/18)t (ÖП/3)t (П/24)t	3 1 ½
07 08 09	x=a1f1(t)+b2 y=a2f2(t)+b1	j2 j j	j2 j j2	8 4 9	2 1 12	6 10 8	5 7 3	2t 3t2 t2	2 3 2
10 11 12	x=a2f1(t)+b1 y=a1f2(t)+b2	sin j sin j2 sin j	cos j cos j2 cos j	14 10 5	18 12 9	5 10 5	7 15 11	П/6t (Ö3/2П)t (3/5П)t	1 1/3 1/3
13 14 15	x=a1f2(t)+b1 y=a2f1(t)+b2	j2 j3 j3	j j j2	3 2 1	8 10 8	7 5 2	12 11 13	3t 5t 4t	3 2 1
16 17 18	x=b1f1(t)+a1 y=b2f2(t)+a2	sin2 j j3 sin 2j	sin2j j2 sin2j	2 5 9	12 7 11	4 12 7	14 15 12	(П/6)t 3t (П/10)t	2 0 ¼
19 20 21	x=b2f1(t)+a2 y=b1f2(t)+a1	cos2 j -sin j cos 2j	cos 2j -cos j -cos 2j	3 10 10	-10 -20 5	4 5 4	-5 4 -6	(П/12)t (П/8)t (П/16)t	4 4/3 2
22 23 24	x=b1f1(t)+a2 y=b2f2(t)+a1	sin2 j sin2 j2 j	cos 2j cos 2j2 j2	2 1 5	3 -6 3	1 1 7	7 -3 -9	(П/8)t (П/24)t 5t	4/5 4 2
25 26 27	x=b2f1(t)+a1 y=b1f2(t)+a2	sin 2j sin 2j2 j2	cos2 j cos2 j2 j3	9 1 2	-2 -4 12	5 2 3	-6 5 -2	(П/24)t2 (П/18)t t	2 3 2
28 29 30	x=b1f2(t)+a1 y=b2f1(t)+a2	cos2 j cos2 j2 sin 2j	sin2 j sin j2 cos 2j	3 1 2	-1 12 6	5 4 3	-4 -9 11	(П/9)t (П/4)t2 (П/12)t	6 1/2 4/9

Таблиця 2

№ варіанта	r2,см	R2, см	R3,см	S,м	Рівняння руху тягаря x=x(t), см
01 02 03	40 25 10	60 50 30	40 40 15	0,05 2,00 0,70	5+20t2 2+50t2 70t2
04 05 06	15 50 60	30 75 80	20 25 40	0,64 1,35 0,72	3+100t2 60t2 8+50t2
07 08 09	40 75 35	80 100 70	50 50 40	0,36 0,20 0,70	100t2 10+30t2 7+70t2
10 11 12	15 30 20	45 50 25	90 60 50	1,20 1,80 4,80	20+30t2 20t2 30t2
13 14 15	80 30 40	80 50 60	40 60 80	0,405 1,69 0,90	15+50t2 2+100t2 5+90t2
16 17 18	50 45 90	70 60 100	60 60 70	3,60 4,50 5,00	90t2 50t2 6+20t2
19 20 21	65 75 10	85 100 10	40 50 30	1,60 0,196 2.80	40t2 6+40t2 10+70t2
22 23 24	40 30 15	60 50 30	30 50 100	0,968 0,144 2,312	80t2 3+90t2 8+80t2
25 26 27	40 30 30	60 60 45	90 60 30	0,245 1,25 0,90	4+50t2 15+20t2 20+40t2
28 29 30	40 30 30	15 50 60	45 60 90	1,69 1,20 0,40	8+100t2 10+30t2 2+40t2

Таблиця 3

№ варианта	Розміри, см			wOA , рад/с	w1 , рад/с	eOA , рад/с2	VA , см/с	aA , см/с2
	ОА	r	AB
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	40	15	-	2	-	2	-	-
2	30	15	-	3	-	2	-	-
3	-	50	-	-	-	-	50	100
4	35	-	-	4	-	8	-	-
5	25	-	-	1	-	1	-	-
6	40	15	-	1	1	0	-	-
7	35	-	75	5	-	10	-	-
8	-	-	20	-	-	-	40	20
9	-	-	45	-	-	-	20	10
10	25	-	80	1	-	2	-	-
11	-	-	30	-	-	-	10	0
12	-	-	30	-	-	-	20	20
13	25	-	55	2	-	4	-	-
14	45	15	-	3	12	0	-	-
15	40	15	-	1	-	1	-	-
16	55	20	-	2	-	5	-	-
17	-	30	-	-	-	-	80	50
18	10	-	10	2	-	6	-	-
19	20	15	-	1	2,5	0	-	-
20	-	-	20	-	-	-	10	15
21	30	-	60	3	-	8	-	-
22	35	-	60	4	-	10	-	-
23	-	-	60	-	-	-	5	10
24	25	-	35	2	-	3	-	-
25	20	-	70	1	-	2	-	-
26	20	15	-	2	1,2	0	-	-
27	-	15	-	-	-	-	60	30
28	20	-	50	1	-	1	-	-
29	12	-	35	4	-	6	-	-
30	40	-	-	5	-	10	-	-

Таблиця 4

№ варіанта	R, см	а, см	a, град	Рівняння відносного руху точки М ОМ=Sr(t)	Рівняння руху тіла		t1, c
					jе=jе(t), рад	xе=xе(t), см
1	-	25	-	18sin(pt/4)	2t3-t2	-	0,5
2	20	-	-	20sin(pt)	0,5t2+1	-	1
3	-	30	-	6t3	2t+0,5t2	-	2
4	-	-	60	10sin(pt/6)	0,6t2	-	1
5	30	-	-	40pcos(pt/6)	3t-0,5t3	-	2
6	15	-	-	-	-	3t+0,3t3	3	jr=0,2pt3
7	-	40	60	20cos(2pt)	0,5t2	-	0,5
8	-	-	30	6(t+0,5t2)	t3-5t	-	2
9	-	-	-	10(1+sin2pt)	4t+1,5t2	-	0,3
10	20	20	-	20pcos(pt/4)	1,2t+t2	-	1,3
11	-	25	-	25sin(pt/3)	2t2-0,5t	-	4
12	30	30	-	15pt3/8	5t-4t2	-	2
13	40	-	-	120pt2	8t2-3t	-	0,25
14	-	-	30	3+14sin(pt)	4t-2t2	-	0,75
15	-	60	45	5(t2+t)	0,2t3+t	-	2
16	-	20	-	20sin(pt)	t-0,5t2	-	0,5
17	-	8	-	8t3+2t	0,5t2	-	1
18	-	-	60	8t3+2t	0,5t2	-	1
19	40	-	-	10t+t3	8t-t2	-	2
20	60	-	-	6t+4t3	t+3t2	-	2
21	25	-	-	3pcos(pt/6)	6t+t2	-	3
22	30	-	-	10psin(pt/4)	4t-0,2t2	-	0,75
23	18	-	-	6pt2	-	-	1	j=pt3/6 010=02A=20см
24	30	-	-	75p(0,1t+0,3t3)	2t-0,3t2	-	1
25	-	-	-	15sin(pt/3)	10t-0,1t2	-	5
26	-	-	45	8cos(pt/2)	-2pt2	-	0,75
27	75	-	-	-	-	50t2	2	jr=5pt3/48
28	40	-	-	2,5pt2	2t3-5t	-	2
29	30	-	-	5pt3/4	-	-	2	j=pt3/8 010=02A=40см
30	50	-	-	4pt2	-	t3+4t	2

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3