Розділ I. Кінематика точки і твердого тіла Завдання к. Кінематика
Завдання К1. КІНЕМАТИКА ТОЧКИ. Основна задача кінематики точки.
За заданими рівняннями руху точки М знайти:
а) рівняння траєкторії точки і показати траєкторію на рисунку;
б) швидкість й прискорення точки для заданого моменту часу t1 ;
в) для моменту часу t1 знайти положення точки М на траєкторії і показати вектори швидкості, дотичного, нормального та повного прискорень;
г) радіус кривини траєкторії в момент часу t1.
д) в момент часу t1 показати траєкторії вектори швидкості і прискорення точки.
Дані задачі наведено в таблиці 1 завдань К.
Необхідно знати:
1. Способи задавання руху точки.
2. Формули, за якими визначаються проекції на декартові осі координат вектора швидкості та вектора прискорення точки.
3. Формули для визначення нормального та дотичного прискорень точки:
;
4. Як визначається аналітично будь-який вектор, якщо відомі його проекції на осі координат.
Необхідно вміти:
1. Діставати похідні від різних функцій.
2. Використовувати різні тригонометричні тотожності.
Приклад виконання завдання к1
Задача. Рівняння руху точки мають вигляд
;
(x, y- в сантиметрах, t- в секундах).
Знайти
рівняння траєкторії, швидкість,
прискорення, а також дотичне і нормальне
прискорення і радіус кривизни в момент
часу
Зауваження. У деяких варіантах при визначенні траєкторії слід врахувати відомі з тригонометрії формули:
;
;
.
Розв’язання
1.
Для визначення рівняння траєкторії у
явній (координатній) формі виключимо
з заданих рівнянь її руху час t,
якій входить до аргументів тригонометричних
функцій, де один аргумент вдвічі більше
другого. Використаємо формулу
,
тобто
(1)
З рівнянь руху знаходимо вирази відповідних функцій і підставимо до рівності (1). Одержимо
,
,
отже,
.
(2)
Звідси знаходимо наступне рівняння траєкторії:
-
парабола (рис. К1).
Рис.К1
На
рис. К1 показана точка М в момент часу
.
2. Швидкість точки знайдемо за її проекціями на осі координат:
,
;
.
При
маємо
;
;
.
(3)
3. Прискорення точки знайдемо аналогічно. Обчислимо спочатку їх проекції на осі:
,
;
.
При
маємо
;
;
.
(4)
4.
Дотичне прискорення знайдемо диференціюючи
за часом рівність
.
Матимемо
,
звідки
.
(5)
Числові
значення всіх величин, що входять до
правої частини (5), визначені і дані в
(3) і (4). Після їх підстановки в (5) одержимо,
що при
.
5.
Нормальне прискорення точки
.
Підставимо сюди значення
і
і одержимо, що при t=1c
.
6.
Радіус кривизни траєкторії
,
тобто при
і
,
.
Знайдені значення шуканих кінематичних характеристик руху точки М, при , показані на рис.1.
Відповідь:
-
траєкторія
парабола: при
;
;
;
;
;
.
Завдання К2. НАЙПРОСТІШІ РУХИ ТВЕРДОГО ТІЛА ТА ЇХ ПЕРЕТВОРЕННЯ. Визначення швидкостей і прискорень точок твердого тіла при поступальному і обертальному рухах.
За даними рівняннями прямолінійного поступального руху тягара 1 визначити і показати на малюнку швидкість, дотичне, нормальне та повне прискорення точки М механізму, якщо тягар пройшов шлях S.
Схеми механізмів показані на рис. 1, а необхідні дані наведені в таблиці 2.
Необхідно знати:
1.Основну теорему поступального руху тіла.
2. Формули, що за заданим законом S=S(t) поступального прямолінійного руху тіла визначають його швидкість і прискорення.
3. Формули, що за заданим законом обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі j=j(t) визначають його кутову швидкість і кутове прискорення.
4. Формули, за якими визначається швидкість і прискорення будь-якої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі.
5. Якщо обертання від одного тіла до другого передасться безпосереднім дотиком або за допомогою ременя, тоді кути обертання цих тіл (коліс), їхні кутові швидкості і кутові прискорення обернено пропорційні їх радіусам (числам зубців Z):
.
Необхідно вміти:
1. Класифікувати прості рухи твердого тіла.
2. Диференціювати різні функції.
3. Аналітично складати вектори.