Приклад виконання завдання дс6

Механічна система, що показана на рис. Д.11, знаходиться у рівновазі під дією сил ваги тіл, які її складають. Визначити умову її рівноваги в узагальнених координатах.

Дано: m_A = 0,5m_D = m; R_B = 0,2 м ;  = 0,23 ; r_В = 0,15 м .

Знайти кут , при якому система буде знаходитися в рівновазі, якщо .

Розв’язання. Система, що показана на рис. Д.11, має один степень вільності. Тому її положення визначається одною узагальненою координатою за яку приймаємо переміщення тіла А. Позначимо цю координату S. За умовами рівноваги механічної системи в узагальнених координатах у даному випадку для рівноваги системи узагальнена сила Q_s, що відповідає узагальненої координаті S, має дорівнювати нулю. Для визначення Q_s дамо узагальненої координаті S можливе переміщення S і обчислимо елементарну роботу всіх зовнішніх сил, діючих на систему, на її можливому переміщенні S:

A_S = P_A sin β S_A – F_тр S_A – P_D  S_C sin α .

За умовою задачі: S_A = S , ; P_D = 2P_А ; ;

Отже A_S = P (sin β – 0,23 cos β – 1,5 sin α ) S . Звідки за визначенням

Q_S = P (sin β – 0,23 cos β – 1,5 sin α ).

За умовою рівноваги Q_S = 0. Отже, sin β – 0,23 cos β – 1,5 sin α = 0. Але за умовою задачі і тому 1,5 sin α – cos α – 0,23 sin α = 0 , ctg α = 1,73 ; α = 30⁰.

Рис. Д.11

Відповідь: система знаходиться в рівновазі при , .

Завдання ДС7. Записати рівняння руху тіла А за допомогою рівняння Лагранжа другого роду.

Умови завдання наведено у завданні ДС.

Необхідно знати:

1. Визначення поняття узагальненої координати механічної системи.

2. Поняття узагальненої сили механічної системи.

3. Рівняння Лагранжа другого роду.

4. Формули за якими визначається кінетична енергія твердих тіл в залежності від руху.

5. Способи визначення узагальненої сили, що відповідає даної узагальненої координаті.

6. Формули за якими визначається робота сили.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати рухи твердого тіла.

2. Вираховувати кінетичну енергію конкретного твердого тіла в залежності від його руху.

3. Проводити кінематичний розрахунок механічної системи твердих тіл.

Приклад виконання завдання дс7

Механічна система, яка складається з трьох абсолютно твердих тіл А, B, D (рис. Д.12), починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Вважаючи в’язі ідеальними, знайти рівняння поступального руху тіла А механічної системи.

Дано: m_A=2m_B=0,5m_D=m; R_B=0,2м; r_B=0,15м; i_BX=0,17м; R_D=0,3м; =30⁰, =60⁰, f=0,2. Знайти S_A.

Розв’язання. Механічна система, що розглядається, має один ступінь вільності і складається з трьох тіл: тіло А робить поступальний рух; тіло В – обертальний і тіло D – плоский. За узагальнену координату зручно прийняти координату S прямолінійного поступального переміщення тіла А. Узагальненою швидкістю в цьому випадку буде – швидкість руху тіла А. У відповідності з одним ступенем вільності запишемо рівняння Лагранжа другого роду для вибраної узагальненої координати

. (а)

Рис. Д.12

Для розв’язання цього рівняння треба знайти кінетичну енергію і узагальнену силу як функції узагальнених координати S_A і швидкості .

1.Знайдемо кінетичну енергію системи як функцію узагальненої швидкості =V_A, яка складається з суми кінетичних енергій кожного з тіл системи:

T=T_A+T_B+T_D. (б)

а) Тіло А рухається поступально і тому

б) Тіло B обертається навколо нерухомої осі ОХ і тому

.

За умовами задачі ; v_E=v_A;

. Отже

.

c) Тіло D робить плоский рух і тому

За умовами задачі ; ; ; .

Таким чином, згідно (б),

, або Т = 1,585 m . (в)

2. Узагальнена сила Q_S, що стоїть у правій частині рівняння (а), це фізична величина, яка залежить від сил у звичайному змісті і є коефіцієнтом при варіації відповідної узагальненої координати у виразі можливій роботи.

У даному випадку A = Q_SS. Елементарна робота А на можливому переміщенні S тіла А, що співпадає з дійсним переміщенням dS (S=dS), має вигляд, згідно рис. Д.12, . Але і тому

. (г)

Обчислимо роботу кожної сили зокрема: A_PA = P_A sin  dS_A; δA_F = –F_Tp δS_A. Але F_Tp = f N_A, де N_A = P_A cos , тобто A_F = –f P_A cos  S_A. Робота . Для обчислення роботи δA_PD визначимо δS_C через δS_A. З кінематики відомо, що ; v_A = v_E ; v_K = v_C, тобто . Звідси . Таким чином .

Підставимо одержані значення робіт в початкове рівняння (г):

.

Звідси випливає, що

Q_S = 0,016mg . (д)

Визначимо потрібні для (а) частинні похідні від кінетичної енергії Т згідно (в)

; ; . (е)

Підставимо значення даних (д) і (е) у рівняння (а) і отримаємо . Звідки

(м/с²). (є)

Рівняння (є) є диференціальним рівнянням руху механічної системи рис. Д.12 в узагальнених координатах, якщо за узагальнену координату прийняти шлях S тіла А.

Якщо диференціальне рівняння руху тіла А вихідної механічної системи знайдено, можна визначити шукане рівняння його руху, розв’язавши фактично обернену задачу динаміки матеріальної точки. Тобто зінтегруємо невизначеним інтегралом диференціальне рівняння другого порядку (є) два рази з урахуванням початкових умов.

Інтегруючи перший раз, одержимо

. (ж)

Інтегруючи вдруге, матимемо

. (з)

Постійні інтегрування С₁ і С₂ знаходимо з початкових умов: при t=t₀=0 ; S₀=S_А(0)=0. Підставимо ці значення у рівняння (ж) і (з). Отримаємо відповідно С₁=0 і С₂=0. Отже, підставимо ці значення постійних знов у (з) і одержимо шукане рівняння руху: S_А=0,002t².

Відповідь: S_А=0,002t² (м).