Приклад виконання завдання дс4

Механічна система, яка показана на рис.Д.9, знаходиться в рівновазі під дією сил ваги тіл які її складають. Знайти співвідношення між масами тіл А і D, якщо , ; . Коефіцієнт тертя ковзання тіла А

Дано: ; ; ; .

Рис. Д.9

Розв’язання. Розглядається рівновага механічної системи твердих тіл (рис. Д.9). Прикладемо до тіл системи всі зовнішні активні сили і реакції в`язей і покажемо їх на рис. Д.9. Силу тертя віднесемо до відомих сил. Система має один степінь вільності. Надаємо їй можливе переміщення і покажемо на рис. Д.9 переміщення точок прикладання зовнішніх сил і . Згідно принципу можливих переміщень запишемо рівняння робіт прикладених до системи сил: . Робота сил і дорівнює нулю, тому що сили перпендикулярні до переміщенням точок прикладання; роботи сил і дорівнють нулю, тому що точки їх прикладання нерухомі. Роботу сил і знайдемо:

Виключимо з цього рівняння невідомі елементарні переміщення. Для цього виразимо всі інші переміщення через одне з них, прийнявши його за незалежне, що можливо тому що система має один степень вільності. З кінематики відомо що відношення елементарних переміщень пропорційні відношенню швидкостей точок системи. Крім того і тому з одного боку а з другого , звідки . Отже маємо, що Але і тому

Підставимо це значення у рівняння робіт і одержимо

або, після скорочення на ,

Знайдемо силу тертя і отже

Звідси знаходимо шукане співвідношення мас:

, тобто

Відповідь:

Завдання ДС5. Скласти диференціальне рівняння руху тіла А даної механічної системи за допомогою загального рівняння динаміки.

Умови завдання наведено у завданні ДС.

Необхідно знати:

1. Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера - Лагранжа).

2. Визначення поняття – “можливе переміщення системи”.

3. Формули, за якими визначаються головний вектор і головний момент сил інерції твердого тіла в залежності від його руху.

4. Формули, за якими знаходиться робота сили.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати рухи тіла.

2. Проводити кінематичний розрахунок механічної системи твердих тіл.

Приклад виконання завдання дс5

Механічна система, яка складається з трьох тіл A, B, D (рис. Д.10), починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Визначити диференційне рівняння поступального руху тіла A, нехтуючи масами шнурів та тертям на осі О.

Дано: ; ; ; ; ; ; =30, =60.

Рис Д.10

Розв`язання: Система складається з трьох твердих тіл A, B, D, рух яких необхідно розглянути. Вона має один степень вільності і отже її положення цілком визначається одним параметром, наприклад, положенням тіла А. При цьому можна скласти одне загальне рівняння динаміки. Розглядаючи рух цієї системи (рис. Д.10) нехтуватимемо силами тертя при обертанні блока В навколо осі О і при качанні диска D, та вважаємо в`язі ідеальними.

Силу тертя ковзання тіла А будемо вважати відомою, тому що , де - нормальна складова реакції тіла А.

Будемо вважати що механічна система рухається зліва направо. Покажемо її у довільному проміжному стані, як це зроблено на рис.Д.10. Прикладемо до тіл систему активних сил, включаючи до них силу тертя тіла А. Враховуючи відомі напрямлення прискорень центрів мас, прикладемо до кожного з тіл системи відповідні головні вектори і моменти сил інерції їх точок, модулі яких визначимо аналітично.

Тіло А рухається поступально. Тому сили інерції його точок зводяться до головного вектора, модуль якого

.

(a)

Тіло В обертається навколо нерухомої осі. Тому сили інерції його точок зводяться до головного моменту, модуль якого

(б)

де ;

тому що швидкість точки L дорівнює швидкості тіла А, тобто і тому Отже,

Суцільний диск D робить плоский (плоскопаралельний) рух і тому сили інерції його точок зводяться до головного вектора і головного моменту :

Враховуючи що швидкість точки С, центра мас тіла D, дорівнює швидкості точки К тіла В, тобто будемо мати

;

Надамо механічній системі можливе переміщення і визначимо суму робіт всіх сил на цьому переміщенні:

.

(в)

Складемо залежності між можливими переміщеннями. Для цього виразимо їх через переміщення тіла А - враховуючи що залежність між елементарними переміщеннями точок системи така сама як і між їх швидкостями, матимемо

Підставимо ці значення у (в) і скоротимо на Остаточно матимемо =0,05.

Таким чином, одержано диференціальне рівняння прямолінійного поступального руху тіла А:

(м/с).

Відповідь: диференціальне рівняння поступального руху тіла А :

Завдання ДС6. Знайти умову рівноваги даної механічної системи в узагальнених координатах.

Умови завдання наведено у завданні ДС.

Необхідно знати:

1. Визначення узагальнених координат.

2. Визначення узагальненої сили, що відповідає даної узагальненої координаті.

3. Загальне рівняння механічної системи в узагальнених координатах.

4. Способи знаходження узагальнених сил.

5. Поняття можливого переміщення системи.

6. Формули, за якими визначається робота сил на можливому переміщенні системи.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати рухи твердого тіла.

2. Проводити кінематичний розрахунок механічної системи