Приклад виконання завдання дс2

Знайти переміщення тіла Б даної механічної системи по горизонталі за допомогою теореми про рух центра мас.

Механічна система (рис Д.4), яку складають чотири тіла А,В,Д,Б, почала рухатися зі стану спокою під дією сил ваги цих тіл. Вважаючи в’язі ідеальними і нехтуючи силою тертя горизонтальної площини знайти відстань ℓ на яку переміститься тіло Б, якщо тіло А пройде шлях S у русі по тілу Б.

Дано: ; ; ; ; ; α=30º; β=60º; S=0,5м. Знайти ℓ.

Рис. Д.4

Розв’язання: Покажемо на рис. Д.4 всі зовнішні сили, прикладені до даної механічної системи: - вага тіла А; - вага тіла В; - вага тіла Д; - вага призми Б; - сумарна нормальна реакція горизонтальної нерухомої гладенької площини.

Н апрямимо вісь x по горизонталі направо і залишемо математичний вираз теореми про рух центра мас механічної системи матеріальних тіл в проекції на цю вісь: , (1)

де M= - маса всієї системи, - проекція зовнішній сили на вісь x ; - координата x- центра мас всій системи. Всі зовнішні сили перпендикулярні до осі x і тому . Отже, згідно (1), . Це означає, що .

У початковий момент руху система була у стані спокою і тому , так що і тому , тобто абсциса центра мас механічної системи, незалежно від переміщення окремих мас системи залишається сталою. З визначення поняття центра мас системи випливає, що

.

Таким чином, у початкову мить руху системи

а в останю

,

Але в кожну мить руху const, тобто ця рівність виконується завжди і

. (1)

Для механічної системи що розглядається маємо:

а в початковий момент руху

. (2)

в кінцевий момент руху

. (3)

Згідно (1), (2), (3) запишемо:

, (4)

Виразимо кінцеві значення координати центров ваги кожного з тіл системи через початкові , враховуючи що тіла А і Д роблять складний рух (по призмі Б і разом з призмою Б):

cosβ-ℓ;

ℓ;

;

. (5)

Шлях S відносно руху тіла Д по призмі Б виразимо через заданий шлях тіла А, тобто через S. Між S і S існує кінематична залежність з якої випливає що

S.

Підставимо в (4) значення (5):

Після відповідних математичних перетворень одержимо

(м)

Відповідь: ℓ=0,077 м.

Завдання ДСЗ. Знайти натяг ниток, що сходять з блока В даної механічної системи, за допомогою принципа Даламбера.

Умови задачі наведено у завданні ДС.

Необхідно знати:

1. Принцип Даламбера для механічної системи.

2. Формули, за якими визначаються величини головного вектора і головного моменту сил інерції при поступальному, обертальному і плоскому рухах твердого тіла.

3. Диференціальне рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.

Необхідно вміти:

1. Дію в'язей представляти дією їх реакцій.

2. Складати рівняння рівноваги системи сил.

3. Визначати момент інерції тіла відносно осі.

Приклад виконання завдання дс3

Механічна система, яка складена з трьох тіл А, В, Д (рис. Д.5), починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги . Вважаючи в’язі ідеальними знайти натяг ниток , що сходять з блоку В, в залежності від мас тіл системи і прискорення тіла А.

Дано: .

Рис. Д.5

Розв’язання. Згідно принципу Даламбера розглянемо рівновагу кожного з тіл, A,B,D, що входять до даної механічної системи, окремо.

а) Тверде тіло А робить поступальний рух (рис. Д.6). Покажемо всі діючи на тіло А сили: вагу , нормальну реакцію , натяг нитки , силу тертя . Додамо до них головний вектор сил інерції тіла А при поступальному русі, який напрямлено в сторону, протилежну прискоренню . При цьому, на підставі принципа Даламбера, система сил є зрівноваженою, тобто еквівалентною нулю:

.

У проекції на вісь Х маємо

,

де за визначенням: Отже маємо остаточно рівняння

. (а)

х

Рис. Д.6 Рис. Д.7

2. Блок В робить обертальний рух навколо нерухомої осі О (рис. Д.7).

Покажемо всі діючи на нього сили: вага , натяг ниток , реакція нерухомого шарніра .Додамо до них головний момент сил інерції блока В , до якого зводяться сили інерції точок тіла В при його обертальному русі. Його спрямуємо в сторону протилежну напрямку кутового прискорення тіла В. При цьому на підставі принципу Даламбера система сил знаходиться в рівновазі і тому можна записати умову рівноваги твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі,

(б)

3). Каток Д робить плоский рух (рис. Д.8).

С

Рис. Д.8

Покажемо всі діючи на каток сили: вагу , нормальну реакцію , натяг нитки . Напрям прискорення його центра С співпадає з напрямком швидкості . Сили інерції точок тіла, що робить плоский рух, зводяться до головного вектора і головного моменту , які додамо до сил, що діють на каток Д . При цьому на підставі принципу Даламбера система сил, прикладених до тіла Д, знаходиться в рівновазі. Запишемо рівняння рівноваги плоскої системи сил, прикладених до тіла Д:

;

;

. (в)

Прискорення , що входить до рівності , виразимо через прискорення . Для цього використаємо умову з кінематики, що прискорення точок системи відносяться як їх швидкості. Отже згідно рис. Д.5 маємо кінематичні залежності

,

тобто . На підставі цього можна записати, що . Крім систем рівнянь (а), (б), (в), за законом дії і протидії маємо рівності ; .

Підставимо в рівняння (б) значення і визначимо всі величини відповідно через . При цьому

(г)

В перше рівняння системи (в) підставимо значення і аналогічно попередньому визначимо всі величини через і m

(д)

Отже для визначення трьох, невідомих за умовою задачі, величин маємо систему трьох рівнянь (а), (г), (д)

Розв’язуючи цю систему рівнянь дістанемо

.

Відповідь: .

Завдання ДС4. Знайти умову рівноваги заданої механічної системи у вигляді співвідношення між масами тіл А і D, за допомогою принципа можливих переміщень.

Умови завдання наведено у завданні ДС.

Необхідно знати:

1. Визначення понять можливого і дійсного переміщень системи.

2. Принцип можливих переміщень.

3. Формули, за якими визначається елементарна робота сили.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати переміщення твердого тіла.

2. Проводити кінематичній розрахунок механічної системи твердих тіл.